Т. Капылова уводзіны ў матэматычную логіку

Дапаможнік для студэнтаў

спецыяльнасцяў

1-31 03 01 Матэматыка, 1-31 03 03 Дастасоўная матэматыка,

1-31 03 06 Эканамічная кібернэтыка, 1-40 01 01

Праграмнае забеспячэнне інфармацыйных тэхналогіяў

Гродна 2008

Рэцэнзенты: галоўны навуковы супрацоўнік Інстытута Матэматыкі НАН Беларусі,

доктар фізіка-матэматычных навук, прафесар Бернік В.І.;

загадчык кафедры вышэйшай матэматыкі БДУ,

доктар фізіка-матэматычных навук, прафесар Мазанік С.А.;

дацэнт кафедры дыферэнцыяльных раўнанняў і аптымальнага кіравання

ГрДзУ імя Янкі Купалы, канд. фіз.- мат. навук Ганчарова М.Н.

УСТУП

Што такое логiка і, у прыватнасці, што такое матэматычная логіка? Некалькiмi словамi можна сказаць гэтак: логiка – гэта аналiз метадаў разважанняў. Матэматычная логіка – навука, якая вывучае разважанні матэматычнымі метадамі.

Адна з важных задачаў логікі – высветліць, што значыць: сцверджанне вынікае з сцверджанняў . Якія разважанні трэба лічыць правільнымі? Пачнем з двух прыкладаў.

(1) Кожны дадатны лік большы за . – дадатны лік. Значыць, большы за .

(2) Кожны кот любіць малако. Том – кот. Значыць, Том любiць малако.

Той, хто хоць прыблізна ўяўляе сабе, што такое і дадатны лік, не стане сумнявацца ў правільнасці разважання (1). Што да разважання (2), дык нехта можа сказаць: “У мяне ёсць кот, які зусім не любіць малака. Значыць, разважанне (2) няправільнае.” Ці мае ён рацыю?

Для аналізу правільнасці разважанняў у матэматычнай логіцы існуюць два метады. Паводле аднаго з іх разважанне называецца правільным, калі з праўдзівасці варункаў гэтага разважання вынікае праўдзівасць высновы. Няцяжка заўважыць, што і разважанне (1), і разважанне (2) маюць адну форму: кожны ёсць , ёсць ; значыць, ёсць . Правільнасць або няправільнасць гэтых разважанняў не залежыць ад таго, які сэнс маюць , , . Чалавек, які займаецца логікай, пры вывучэнні разважанняў цiкавiцца формай, а не зместам аргументаў у тым цi iншым разважаннi. Больш за тое, яму не важна (у адрозненне ад гаспадара таго ката, які не любіць малака), праўдзівыя ці непраўдзівыя асобныя ўмовы або высновы пэўнага разважання, важна толькі, ці вынікае праўдзівасць высновы з праўдзівасці варунакў гэтага разважання. А выпадак, калі прынамсі адна з умоваў разважання непраўдзівая (напрыклад, у (2) калі існуе кот, які не любіць малака, або Том – не кот, а чалавек), логіка не цікавіць. Для логіка, напрыклад, разважанне:

(3) Кожны сабака – вегетарыянец. Джым – сабака. Значыць, Джым – вегетарыянец,

якое мае тую сама форму, што (1) і (2), таксама правільнае, як і (1) і (2), хоць першая ўмова гэтага разважання непраўдзівая, і нават наўрат існуе хоць адзін сабака – вегетарыянец.

Аналізам разважанняў гэтым метадам мы будзем займацца ў §2 раздзелу 1 і §3 раздзелу 3.

Яшчэ адна задача матэматычнае логікі – даць дакладнае азначэнне паняцця “матэматычны доказ”. Аксіяматычны метад у матэматыцы вядомы яшчэ з “Пачаткаў” Эўкліда (330-320 гг. да н.э.). У геаметрыі Эўкліда даюцца “азначэнні” (апісанні) пачатковых паняццяў геаметрыі, такіх, як “пункт”, “простая”, “плоскасць”. Некаторыя сцверджанні пра гэтыя паняцці прымаюцца без доказу як аксіёмы (пастулаты). Затым праз пачатковыя паняцці вызначаюцца новыя, а з аксіёмаў з дапамогаю логікавых разважанняў выводзяцца новыя сцверджанні, якія называюцца тэарэмамі. Аксіяматыку, падобную Эўклідавай, дзе значэнні пачатковых паняццяў падаюцца спачатку, называюць нефармальнай (змястоўнай, матар’яльнай) аксіяматыкай.

У фармальнай аксіяматыцы, якая ўзнікае ў 19 ст., значэнні пачатковых паняццяў не вызначаюцца, а толькі патрабуецца, каб гэтыя паняцці задавальнялі пэўныя аксіёмы. Прыклады фармальных аксіяматыкаў – аксіяматыкі абстрактнай тэорыі групаў, тэорыі колцаў, лінейнай алгебры, геаметрыі Лабачэўскага – Баяі.

У раздзеле 2 нашае кнігі мы даем азначэнне фармальнае (аксіяматычнае) тэорыі і азначэнне доказу ў гэтай тэорыі. Доказ у фармальнай тэорыі – гэта паслядоўнасць формулаў, кожная з якіх або аксіёма, або атрымана паводле аднаго з пэўных правілаў вывядзення з папярэдніх формулаў, а тэарэма – формула, для якой існуе доказ. З гэтых паняццяў вынікае другі падыход да аналізу правільнасці разважанняў. Формула называецца выводнай з мноства гіпотэзаў , калі існуе паслядоўнасць формулаў, кожная з якіх або аксіёма, або належыць , або атрымана паводле некаторага правіла вывядзення з папярэдніх формулаў; разважанне правільнае, калі існуе вывядзенне формулы, з дапамогаю якой запісаная выснова разважання, з гіпотэзаў гэтага разважання. Як мы ўбачым, два гэтыя метады аналізу правільнасці разважанняў эквівалентныя.

У многiх матэматычных тэорыях часам узнiкаюць праблемы, якiя нiяк не паддаюцца развязанню. Iншы раз праз некаторы час праблему ўдаецца вырашыць. Аднак бывае, што некаторае сцверджанне немагчыма нi даказаць, нi абвергнуць (не таму, што над доказам працуюць недастаткова квалiфiкаваныя матэматыкi або мала працуюць, а таму, што гэтае сцверджанне ў прынцыпе немагчыма нi даказаць, нi абвергнуць). Напрыклад, у аксiяматыцы тэорыі мностваў Цэрмела - Фрэнкеля ёсць аксiёма выбару, якая не можа быць нi даказаная, нi абвергнутая ў тэорыi Цэрмела – Фрэнкеля. Чытач, якi чуў пра геаметрыю Лабачэўскага, ведае, што пяты пастулат Эўклiда (сцверджанне, эквівалентнае тэарэме: “ На плоскасці праз пункт, якi не ляжыць на простай, можна правесці не больш за адну простую, якая не перасякае дадзеную” не можа быць нi даказаны, нi абвергнуты з першых чатырох пастулатаў Эўклiда.

Гёдэль у 1931 г. даказаў славутую тэарэму пра няпоўнасць, якая сцвярджае, што ўсякая дастаткова багатая тэорыя мае сцверджаннi, якiя нельга нi даказаць, нi абвергнуць у рамках гэтае тэорыi.

Прапанаваная чытачу кніжка ёсць тэкст лекцыяў па матэматычнай логіцы, якія чыталіся аўтарам на працягу некалькіх гадоў у Гродзенскім дзяржаўным універсітэце для студэнтаў матэматычных спецыяльнасцяў. Яна складаецца з чатырох раздзелаў. У першых двух: “Алгебра выказванняў” і “Злічэнне выказванняў” выкладаецца класічнае злічэнне выказванняў: у першым – тэорыя мадэляў, у другім – фармальная тэорыя (тэорыя доказаў). Раздзел 3 “Логіка прэдыкатаў” прысвечаны класічнаму злічэнню прэдыкатаў: §§1–3 – тэорыі мадэляў, §§4–6 – тэорыі доказаў. §§4–6 і часткова §3 раздзелу 3 на лекцыях для студэнтаў малодшых курсаў выкладаць немэтазгодна; гэтыя параграфы студэнты, якія зацікавяцца фармальнай тэорыяй прэдыкатаў, могуць прачытаць самастойна. Тэарэмы Гёдэля пра поўнасць (сцверджанне 5 §5) і няпоўнасць (сцверджанне 1 §6) падаюцца без доказаў з прычыны іх нетрывіяльнасці. У раздзеле 4 “Машына Т’юрынга ” даецца адно з магчымых азначэнняў паняцця алгарытму. Слова “алгарытм” сустракаецца ў папярэдніх раздзелах раней, чым у раздзеле 4 даецца строгае азначэнне алгарытму, але аўтар мяркуе, што гэты “грэх” супраць лагічнай строгасці і паслядоўнасці можна дараваць.

Для разумення лекцыяў ніякіх папярэдніх матэматычных ведаў не патрабуецца, але ў чытача мусіць быць пэўная матэматычная культура. Мы карыстаемся інтуіцыйным паняццем мноства і спадзяемся, што чытач ведае паняцці прыналежнасці элементу да мноства, улучэння, роўнасці мностваў, магутнасці мноства, злічонага мноства, азначэнні аперацыяў над мноствамі і іх уласцівасці.

Усюды выкарыстоўваюцца стандартныя абазначэннi: – мноства ўсiх натуральных лiкаў, – мноства ўсiх цэлых лiкаў, – мноства ўсiх рацыянальных лiкаў, – мноства ўсiх рэчаiсных лiкаў, – мноства ўсiх камплексных лiкаў, – мноства ўсіх падмностваў мноства . Канец доказу абазначаецца значком ■