- 11 -

Лекция 11

4.16. Деформация кручения

Э тот вид деформации происходит, когда к стержню прикладываются только крутящие моменты, например, на кручение работает карданный вал автомобиля. На кручение рассчитываются и другие валы, где крутящий момент имеет превалирующее значение в сравнении с другими внешними силами (валы электродвигателей, редукторов и др.).

Рассмотрим кручение консольно закрепленного стержня крутящим моментом, приложенным к его свободному концу (рис.4.27).

Нанесем на стержень прямоугольную сетку. Под действием крутящего момента стержень закрутится на некоторый угол и сетка исказится. Горизонтальные линии станут наклонными, а прямоугольники превратятся в параллелограммы. При этом, как показывают опыты, расстояние между параллельными сечениями не изменяются, то есть при кручении не происходит растяжения или сжатия стержня. Следовательно, при кручении отсутствуют нормальные напряжения, а возникают только касательные напряжения. К такому же выводу приводит и тот факт, что на поверхности стержня прямоугольники превращаются в параллелограммы. Подобная картина наблюдалась в деформации сдвига (среза), где в сечении возникали только касательные напряжения.

Если внешними являются только крутящие моменты, то внутренними будут тоже крутящие моменты.

И сходя из выше изложенного, можно записать условие прочности

- условие прочности при кручении, где W_ρ - момент сопротивления сечения кручению (см. геометрические характеристики сечений).

К роме прочностных расчетов приходится определять углы закручивания стержня. Формула для определения угла закручивания имеет вид

рад.

Здесь Мкр – внутренний крутящий момент на участке стержня; l – длина участка стержня; G – модуль сдвига материала стержня; Jр – полярный момент инерции сечения участка стержня.

Методику расчетов на кручение рассмотрим на конкретном примере (рис.4.28).

Пример

На консольно закрепленный стержень с диаметром d = 20 мм действуют крутящие моменты (рис.4.28,а):

Мкр₁ = 100 Н*м; Мкр₂ = 200 Н*м;

Мкр₃ = 500 Н*м;

σ_в = 900 МПа; G = 8*10⁴ МПа;

a = 100 мм; b = 150 мм; c = 200 мм.

Определить:

1 – выдержит стержень приложенную нагрузку или нет

2 – минимальные диаметры участков стержня.

Построить:

3 – эпюру крутящих моментов;

4 –эпюру углов закручивания.

Решение.

Запишем условие прочности .

Оценим условия работы конструкции. Предположим, что условия работы опасные, принимаем n = 6. Тогда [σ] = σ_в/ n = 900/6 = 150 МПА;

[τ] = 0,5[σ] = 75 МПа.

С помощью метода сечений определим внутренние моменты.

Крутящий момент на отрезке “с” .

Крутящий момент на отрезке “b”

.

Крутящий момент на отрезке “a”

.

Эпюра крутящих моментов изображена на рис.4.28,б.

Зная d, определим момент сопротивления кручению

.

Наиболее опасным является отрезок “a”, поскольку в нем возникает наибольший (по модулю) крутящий момент. Напряжения на этом участке равны

, т.е. стержень не выдержит такую нагрузку.

Выделим из условия прочности W_ρ .

Найдем W_ρ на каждом участке стержня

.

( момент берется по модулю).

.

Определим диаметры на участках стержня по формуле .

На отрезках “с” и “b” .

На отрезке “с” .

Мы получили равнопрочный стержень, у которого напряжения во всех сечениях одинаковые и равны τ_д = 75 МПа, а вес минимальный из всех возможных при принятом коэффициенте запаса прочности.

Запишем формулу для определения углов закручивания

, где (1 рад. = 57,3 ^о).

На расстоянии “а” от свободного конца стержня угол закручивания

.

.

.

.

Эпюра углов закручивания показана на рис.4.28, в.