Моделируем 

Получаем путём решения уравнения

F()=

Рис.3.

Например, пусть требуется смоделировать случайную величину с экспоненциальным законом распределения:

P(x)=e^-(x-x0) , x₀  x 

F(x)=1-e^-(x-x0)

В этом случае уравнение (2) имеет следующий вид:

1- e^-(-x0) =  (3)

Из (3) получаем явную формулу для моделирования :

(4)

Так как случайная величина 1- также равномерно распределена на интервале (0.1), то в формуле (4) можно заменить 1- на ;

Основным недостатком метода обратных функций является сложность (для большинства практических случаев) решения уравнения (2).

Метод Неймана. Данный метод в настоящее время является наиболее распространенным в практике моделирования случайных величин. Суть его заключается в следующем. Пусть требуется смоделировать случайную величину  , определенную на конечном интервале (а,b) и имеющую заданную плотность распределения р(х)с (рис.4).

^C

У=p(x)

ξ’’

0 α ξ^{́́́́́’} b X

Рис.4.

Введем в рассмотрение две независимые случайные величины₁ и ₂ . равномерно распределенные на интервале (0,I), а также случайные величины ^=a+(b-a)₁ и ^=c₂. Тогда случайная величина , определяемая формулой

=^ , если ^<р(^) .

имеет плотность вероятностей, равную р(х).

Блок-схема алгоритма моделирования случайной величины по методу Неймана имеет следующий вид:

Моделируем 1

Моделируем 2

:=a+(b-a) ₁

^:=c₂

нет

да

:=^

Рис.5.

Эффективность метода Неймана равна;

Здесь под эффективностью понимается, вероятность того, что точка (₁,₂) будет использована для расчета , а не отброшена. Для того, чтобы эффективность метода была наибольшей, следует положить С=sup p(x).

a<x<b

Недостатком метода Неймана является его малое быстродействие.

Метод суперпозиций. Основная идея этого метода сводятся к следующему. Пусть заданная функция распределения F(х) случайной величины  может быть представлена в виде:

(5)

соответственно плотность распределения

, C_X  0 , x=1 ,2 ……m .

Из (5) при х  следует, что

(6)

Выражение (6) позволяет ввести в рассмотрение дискретную случайную величину с распределением:

xi	1	2	3	………….	m
Pi	C1	C2	C3	………….	Cm

так , что Р{=x}=С_X

Пусть  - равномерно распределенная случайная величина. Нетрудно показать, что если по величине  получить значение х случайной величины  , а затем получить значение случайной величины  либо с помощью метода обратных функций по известной функций распределения F_X(х), либо с помощью метода Неймана по известной плотности распределения p_X(х) , то функция распределения  будет равна F(х). Следует отметить, что равномерно распределенные случайные величины, используемые как в методе обратных функций (₂), так и в методе Неймана (₂ , ₃), должны быть независимы с ₁.

Блок-схемы алгоритмов моделирования случайной величины  по методу суперпозиций приведены на рис.6.

Моделируем ₁

Моделируем ₁

Моделируем

 = x

Моделируем

= x

Моделируем ₂

Моделируем ₂,₃