1.4. Упражнения 2
Решить
следующие задачи А, используя построение
и решение вспомогательной задачи
.
2.1. Максимизировать 2.2. Максимизировать
µ(x) = x1 + x2 + 2x3 µ(x) = x1 + x2 + 2x3
на множестве векторов на множестве векторов
x =(x1, x2, x3) x =(x1, x2, x3)
удовлетворяющих условиям удовлетворяющих условиям
xj ≥ 0, j=1, 2, 3; xj ≥ 0, j=1, 2, 3;
2x1 – x2 – x3 – 7 = 0; 3x1 + x2 – x3 – 5 = 0;
x1 + x2 + 2x3 – 10 = 0. 3x1 + 2x2 + x3 – 7 = 0.
2.3. Максимизировать 2.4. Максимизировать
μ(x)= x1-10x2+x3 μ(x)= x1+2x2+3x3 -4x4
на множестве векторов на множестве векторов
x=(x1, x2, x3) x=(x1, x2, x3, x4)
удовлетворяющих условиям удовлетворяющих условиям
x1, x2 , x3 ≥0; x1, x2 , x3 , x4≥0;
x1-5,5x2-7x3=-13; x1+x2+x3+x4=2;
x1+14,5x2+7x3 =15. x1+14 x2+10x3-10x4 =24.
2.5. Максимизировать 2.6. Максимизировать
μ(x)= x1-4x2+3x3 +10x4 μ(x)= x1-4x2+3x3 +10x4
на множестве векторов на множестве векторов
x=(x1, x2, x3, x4) x=(x1, x2, x3, x4)
удовлетворяющих условиям удовлетворяющих условиям
x1, x2 , x3 , x4≥0; x1, x2 , x3 , x4≥0;
x1+x2-x3+x4=0; x1+3x2+3x3+x4=3;
x1+14 x2+10x3-10x4 =11. 2x1+3 x2-x4 =4.
2.7. Минимизировать
μ(x)= 3x1+6x2+12x3
на множестве векторов
x=(x1, x2, x3)
удовлетворяющих условиям
x1, x2 , x3 ≥0;
x1+2 x2-2x3=-1.
-x1+3x2-3x3 =2;
1.5. Использование аппарата обратных матриц
Принципиальная
схема реализации МПУ с использованием
обратной матрицы совпадает с приведенной
в разделе 1. Базисному множеству K
отвечают базисная матрица BК
и обратная
матрица BК-1,
которую перевычисляют на каждой итерации
в дополнение процедуры 5. Элементы
измененной матрицы вычисляются по
формулам
при
(26)
,
(27)
где
r
– номер
столбца базисной матрицы
’,
элементы которого изменились при
переходе к следующей итерации. Величины
совпадают с коэффициентами разложения
r-го
столбца новой матрицы
по столбцам
матрицы
,
они вычисляются на процедуре 3 каждой
итерации МПУ. Это означает, что перед
вычислением новой обратной матрицы
величины
уже известны.
На следующей итерации при выполнении процедур 1 и 3, решаются системы уравнений (9) и (13), матрицы которых транспонированы друг к другу. В этом алгоритме для их решения применяется обратная матрица по формулам
(y1,
y2
,
… , ym)
=
(28)
.
(29)
Пример 3. Максимизировать функцию µ(x) = 3x1 + 6x2 + 12x3 на множестве векторов x =(x1, x2, x3), удовлетворяющем условиям
xj ≥ 0, j=1, 2, 3;
–x1 + 3x2 – 3x3 – 2 = 0;
x1 + 2x2 – 2x3 + 1 = 0.
Этап 1. Решение вспомогательной задачи. Найдем исходное д.б.м. К и отвечающий ему допустимый вектор х(К). Информацию о вспомогательной задаче разместим в табл. 11. Исходное д.б.м. К ={4,5},
базисная
матрица
=
,
обратная матрица
Найденная информация размещается в первых двух столбцах табл. 12. , построенной по типу табл. 2. и расширенной для размещения обратной матрицы.
Таблица 11
j i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1
2 |
-1
1 |
3
2 |
-3
-2 |
1
0 |
0
-1 |
-2
1 |
|
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
|
Таблица 12
Итерация 1 |
Итерация 2 |
||||||
4 5 |
2 1 |
3 -2 |
1 0 0 -1 |
2 5 |
0.66 2.32 |
|
0.33 0 0.66 -1 |
4 |
-3 |
0.66 |
1 -1 |
|
-2.32 |
|
0.66 -1 |