Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для самостоятельной работы студентов по дисциплинам

«Математические методы и модели исследования операций»,

«Методы оптимизации», «Комбинаторные алгоритмы»

Часть 2

Численные методы линейного программирования

Уфа 2008

Составители: Э.А. Мухачева, А.С. Филиппова, Т.Д. Тарасова

УДК 519.8 (07)

ББК 22.18 (я7)

Математические методы исследования операций: методические указания для самостоятельной работы студентов по дисциплинам «Математические методы и модели исследования операций», «Методы оптимизации», «Комбинаторные алгоритмы». Часть 2. Численные методы линейного программирования. / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т; Сост.: Э.А. Мухачева, А.С. Филиппова, Т.Д. Тарасова. – Уфа, 2008. – 22 с.

Методические указания посвящены численным методам решения задач линейного программирования. Для их решения описаны «метод последовательного улучшения допустимого вектора», метод построения допустимого базисного множества и отвечающего ему допустимого решения, алгоритм с обратной матрицей. Каждый раздел снабжен примерами для самостоятельного решения.

Указания предназначены для самостоятельного выполнения практических работ и домашних заданий студентами экономических специальностей, в том числе «Математические методы в экономике» и по направлению подготовки бакалавров «Математика. Компьютерные науки» по дисциплинам «Математические методы и модели исследования операций», «Методы оптимизации», «Комбинаторные алгоритмы».

Табл. 13. Библиогр.: 6 назв.

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. Шерыхалина С.М. (УГАТУ)

канд. физ.-мат. наук, доц. Авдюшева С.М.  (БГУ)

© Уфимский государственный

а виационный технический университет, 2008

СОДЕРЖАНИЕ:

Введение…………………………………………………………………………...4

1. Метод последовательного улучшения допустимого вектора (МПУ)............5

1.1.Основная часть МПУ…………………………………………………..6

1.2. Упражнения 1………………………………………………………...10

1.3. Построение исходного допустимого базисного множества………12

1.4. Упражнения 2 ………………………………………………………..14

1.5. Использование аппарата обратных матриц….…………….….........15

1.6. Упражнения 3………………………………………………………...17

2. Ответы к упражнениям………………………………………………………19

3. Задачи для выполнения домашних заданий, расчетно-графических и контрольных работ…………………………………………..………………....20

Список литературы..…………………….……………………………….………22

Введение

В 1939 г. издательством Ленинградского университета была выпущена небольшая брошюра молодого профессора Л.В. Канторовича, посвященная математическим методам организации и планирования производства. Эта работа сыграла основополагающую роль в становлении математического программирования – нового научного направления, представляющего собой поиск экстремальных решений некоторой функции на множестве допустимых решений, заданных системой неравенств и уравнений. В случае, когда функция является линейной и заданы линейные уравнения и неравенства, определяются задачи линейного программирования, которым и посвящена серия методических указаний для самостоятельного изучения студентами и специалистами в прикладных областях математики. Эта серия базируется на книге Э.А. Мухачевой, Г.Ш. Рубинштейна «Математическое программирование», которая была издана в Новосибирском государственном университете, после некоторых изменений – в Уфимском авиационном институте и допущена Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов экономических и инженерно-технических специальностей вузов. Позднее книга переиздавалась дважды (1977 и 1987 гг.) в издательстве «НАУКА», Новосибирск и в Китае. Содержанием книги являются теория и численные методы математического программирования. Однако, она не содержит задач, примеров и теоретических вопросов для проверки самостоятельного изучения и проверки знаний студентов.

Методические указания для самостоятельной работы студентов по дисциплинам «Математические методы и модели исследования операций», «Методы оптимизации», «Комбинаторные алгоритмы», (часть 2) посвящена численным методам линейного программирования. Основной теоретический материал изложен в лекциях «Численные методы», «Прямой метод решения задач линейного программирования». Указания включают в себя базовый метод последовательного улучшения допустимого вектора (МПУ). В результате его применения в случае разрешимости задачи, находят оптимальное решение основной и двойственной задач. Кроме базового метода, для которого предполагается заданным допустимый вектор, приведены две его модификации: построение исходного допустимого решения и метод с обратной матрицей. Широко известный симплексный метод в данных указаниях не рассматривается. Однако его модификация с применением обратной матрицы полностью совпадает с изложенным здесь алгоритмом с обратной матрицей для МПУ. Все разделы указаний снабжены кратким изложением соответствующих теоретических положений и большим количеством примеров и упражнений, имеются ответы для проверки студентами полученных решений.

Целью методических указаний является изучение студентами базового численного метода линейного программирования, приобретение умений и практических навыков по решению основной и двойственной задач.