3.5. Цілочислові задачі лінійного програмування.

Якщо до задачі лінійного програмування, наприклад виду (3.1 - 3.3) додати ще умову за якою усі або декілька змінних можуть приймати лише цілі значення, то отримаєма задачу цілочислового лінійного програмування.

Увесь клас задач цілочислового програмування можна умовно поділити на два типи: загально цілочислове програмування – лінійне програмування з вимогою цілочисленності для усіх змінних задачі та чатково цілочислове (змішано-цілочислове) програмування – лінійне програмування з вимогою цілочисленності тільки для деяких, але не всіх змінних задачі. Якщо усі змінні задачі лінійного програмування можуть приймати лише два значення 0 і 1, то говорять про бульове програмування, якщо це справедливо лише для деяких змінних, то говорять про змішано-бульове програмування.

Математична модель загальної цілочислової задачі лінійного програмування має вигляд:

(3.19)

; (3.20)

(3.21)

Прикладом використання цілочисловово лінійного програмування є задачі про використання виробничих потужностей, якщо наявні потужності не можуть бути використані частинами; задачі про суміші, якщо компоненти сумішей можуть додаватися тільки в певних пропорціях, в транспортних задачах (п. 3.6); в задачах вибору послідовностей виробничих процесів; календарного планування роботи підприємства; планування та забезпечення матеріально-технічного постачання, розміщення підприємств, розподілу капіталовкладень, і т.п..

3.5.1. Геометрична інтерпритація задач цілочислового лінійного програмування.

Геометрична інтерпритація задач з двома змінними витікає із викладеного в пункті 3.2., якщо взяти до уваги, що у випадку цілочисленої задачі допустимими точками (розв’язками) будуть лише точки з цілочисловими координатами (координатної сітки) в допустимій області ЗЛП. У випадку частково-цілочислової задачі отримують відрізки прямих у допустимій області ЗЛП. Тобто, геометрично множина допустимих планів будь-якої лінійної цілочислової задачі являє собою систему точок з цілочисловими координатами, що знаходяться всередині опуклого багатокутника допустимих розв’язків відповідної нецілочислової задачі рис.3.7.. Особливість геометричної інтерпретації цілочислової задачі у порівнянні зі задачею лінійного програмування полягає лише у визначенні множини допустимих розв’язків. Областю допустимих розв’язків загальної задачі лінійного програмування є опуклий багатогранник, а вимога цілочисловості розв’язку приводить до такої множини допустимих розв’язків, яка є дискретною і утворюється тільки з окремих точок.

Рис.3.7.

3.6.2. Методи розв’язку лінійних задач цілочислового програмування.

Основою існуючих методів цілочислового програмування є ідея Данціга. Зміст якої у наступному: якщо необхідно розв’язати ЗЛП, усі або частина змінних якої повинні задовольняти умову цілочисленості, то можливо, при розв’язуванні задачі без урахування умови цілочисловості, випадково буде отримано потрібний розв’язок. Однак, імовірність даного випадку досить мала. У більшості випадків розв’язок не задовольнятиме умову цілочисленості. Тоді до існуючої задачі долучають додаткове обмеження, яке не виконується для отриманого плану задачі, проте задовольняє будь-який цілочисловий розв’язок. Таке додаткове обмеження називають «правильним відтинанням».

Методи відтинання базуються на операції поступового «звуження» області допустимих розв’язків розглядуваної задачі. Пошук цілочислового розв’язку починається з отримання оптимального плану задачі з «послабленими» обмеженнями - без урахування вимоги цілочисловості змінних. Далі у модель включаються додаткові обмежень, що враховують умову цілочисленності змінних, область допустимих розв’язків послабленої задачі поступово зменшують доти, доки змінні оптимального розв’язку не набудуть цілочислових значень. Практично, існуючу систему обмежень задачі доповнюється новим обмеженням і знову розв’язується «посилена» ЗЛП. Якщо її розв’язок знову не задовольняє умови цілочисловості, то будується нове лінійне обмеження, що обмежує отриманий розв’язок, не зачіпаючи цілочислових планів. Процес приєднання додаткових обмежень повторюють доти, доки не буде знайдено цілочислового оптимального плану, або доведено, що його не існує.

Геометрично це означає, що якщо точка А (рис.3.7.) многокутника допустимих розв’язків ОВАС є оптимумом і одночасно є точкою координатної сітки, то А – розв’язок цілочислової задачі. У притилежному випадку до ЗЛП додається ще одна умова («зріз»), така, що всі допустимі точки координатної сітки задовольняють її, а сама точка А – ні. Тобто сама точка А і її окіл «відтинаються» від допустимої області ЗЛП.

Для розв’язування цілочислових задач лінійного програмування розроблені різноманітні методи: метод відтинання; метод розгалуджень; наближені методи; доведення цілочисленості всіх базисних роз’язків відповідної ЗЛП для окремих класів задач (транспортна задача).

Розглянемо деякі з найбільш вживаних методів розв’язування задач цілочислового програмування.