3.4.1. Метод штучного базису

Симплексний метод розв’язку задач лінійного програмування передбачає введення додаткових змінних, що утворюють систему одиничник лінійно незалежних векторів (одиничну матрицю), що є необхідною умовою існування розв’язку задачі.

Якщо обмеження задачі містять нерівності виду ≥, або рівняння і матриця коефіцієнтів при невідомих системи обмежень не містить одиничних лінійно незалежних векторів, то отримати початковий базисний план неможливо. Для усунення цієї проблеми в систему обмежень вводять штучні змінні х_i (i=1÷k), де k – кількість необхідних одиничних лінійно незалежних векторів. Вектори штучних змінних утворюють необхідну для розв’язку одиничну матрицю. Базис, утворений таким способом називають штучним, а відповідний метод розв’язку задачі лінійного програмування називається методом штучного базису. У цільову функцію задачі штучні змінні вводяться із коефіцієнтом М, для задачі на мінімум і із коефіцієнтом –М для задачі на максимум, де М дуже велике додатне число, значення якого не конккретизується.

Штучні змінні не змінюють умову задачі і ніяким чином не впливають на значення критерію оптимальності, вони лише дозволяють отримати початковий опорний план, а процес оптимізації приведе їх значення до нуля, що забеспечить допустимість існування оптимального плану.

Приклад 3.4. Розв’язати задачу лінійного програмування симплексним методом. Умова задачі подана математичною моделлю:

Розв’язок.

Запишемо систему обмежень задачі в канонічному вигляді.

Для цього перейдемо від обмежень-нерівностей до строгих рівнянь, увівши до лівої частини обмежень додаткові змінні х₄ та х₅:

Канонічну систему обмежень задачі запишемо у векторній формі:

де

Оскільки вектори не одиничний, то для побудови початкового базису у зазначеній системі векторів не вистачає одиничного вектора . Отримати цей вектор можна введенням у друге рівняння системи обмежень штучну змінну х₆.

У цільову фукцію задачі штучна змінна включається із коефіцієнтом (- М) – для задачі на пошук max Z і з коефіцієнтом (+М) для задачі на min Z. Де М – досить велике додатнє число.

Оскільки додатні коефіцієнти х₅ та х₆ відповідають лінійно незалежним векторам, то за означенням -є опорним планом задачі і для цього початкового плану цільова функція має вигляд:

Складемо симплексну таблицю для першого опорного плану задачі.

Базис	Сбаз	План	3	6	2	0	0	-М	θ
			х1	←х2	х3	х4	х5	х6
х4	0	2	3	4	1	1	0	0
←х6	-М	1	1	3	2	0	-1	1
Zj – сj ≥ 0		-М	-М-3	-3М-6	-2М-2	0	М	0

Переходимо до нових опорних планів (будуємо наступні симплексні таблиці) і перевіряємо їх на оптимальність.

Базис	Сбаз	План	3	6	2	0	0	-М
			х1	х2	х3	х4	←х5	х6
←х4	0			0		1		-
х2	6			1		0	-
Zj – сj ≥ 0		2	-1	0	2	0	-2	М+2

Базис	Сбаз	План	3	6	2	0	0	-М
			х1	х2	←х3	х4	х5	х6
х5	0			0			1	-1
←х2	6			1			0	0
Zj – сj ≥ 0		3	2	0	-		0	М

Базис	Сбаз	План	3	6	2	0	0	-М
			х1	х2	х3	х4	х5	х6
х5	0	3	3	5	0	2	1	-1
х3	2	2	2	4	1	1	0	0
Zj – сj ≥ 0		4	3	2	0	2	0	М

У оцінковому рядку останньої симплексної таблиці відсутні від’ємні числа, тобто всі , тобто значення оцінок задовольняють умову оптимальності. Це означає, що знайдено оптимальний план задачі:

.