Шпоры по рядам / ш2эм
.doc
6. Знакочередующиеся
ряды
+/- (U1-U2+U3-U4..)
Теорема Лейбница:
Если в з/ч ряде
абсолютные величины членов ряда убывают,
и общий их член →0, то ряд сходится,
причем его сумма по общей величине
меньше первого члена ряда, а остаток
ряда по модулю меньше первого из
отбрасываемых членов. Док-во.
Рассмотрим частичную сумму ряда с
номером 2N:
5. Интегральный
признак Коши
Если члены
положительного ряда ∑Un
могут быть представлены как числовые
значения некоторой непрерывной монотонно
убывающей на [1,+)
f(x),
так что U1=f(1),
U2=f(2)..если
(1
to
+)f(x)dx
сходится, то сходится и ряд ∑Un;
если (1
to
+)f(x)dx
расходится, то расходится и ряд ∑Un;
д-во:
рассмотрим F(x)
для f(x);
F’(x)=f(x)>0;
тогда F(x)
возрастает при возрастании x,
при х→беск имеет предел конечный или
бесконечный. Рассмотрим ряд ∑(F(n+1)
– F(n)),
если F(x)
имеет конечный предел, то сходится.
Сравним по формуле Лагранжа
F(n+1)-F(n))=f(n+θ),
в следствии монотонности f(x):
U(n+1)=f(n+1)<F(n+1)-F(n),
то сходится и ряд ∑U(n+1)
Следовательно ∑Un
и
заметим, что
,
т.к. по условию 1 имеем нер-во:
.
.
4.Радикальный
признак Коши
Пусть
для ряда ∑Un,
где Un>=0,
существует предел корня n-ой
степени из Un
равный l.
Тогда если l<1,
то ряд сходится, если l>1
расходится.
Д-во:
1. пусть l<1.
Выберем число q,
так чтобы l<q<1
следовательно существует n>no
и справедливо, что корень n-ой
степени из Un<q,
Un<qn
2. l>1.
все члены >1, то последовательность
членов не стремится к нулю, не выполняется
необходимый признак сходимости,
следовательно ряд расходится.
Все слагаемые в
круглых скобках, а также
Вернемся к
7. Абсолютная
сходимость. Достаточный признак
сходимости.
Если ряд, составленный
из абс. величин членов данного ряда
сходится, то сходится и весь ряд.
Д-Во
Обозначим через
S
сумму первых членов ряда. G=Sn(+)+Sn(-);
G
имеет конечный предел равный g;
g(+),
g(-)
– положительные и возрастающие. Значит
существует предел Sn(+)
и Sn(-),
ряд сходится.
Замечание
(достаточный):
1. S=+/-(U1-U2+U3…)
Ui>0;
2. Sn=U1+U2+…Un
Опр. Ряд, абс
величины которого образуют сходящийся
ряд называют – абсолютно сходящимся.
Опр2. Если ряд
сходится, а ряд образованный из абсолютных
величин расходится, то ряд неабсолютно
сходящиеся.
8. Сходимость
функциональных последовательностей
Посл-сть наз-ся
сходящейся на множестве Х, если при л/б
фиксированным х их Х послед. сходится.
Общая сходимость – fn(x)→f(x),
л/б ε>0, л/б x
из Х существует no
из N
такое что n>no
|fn(x)→f(x)<ε
Равномерно сходящаяся – функц. послед.
к функции на мн-ве Х, если л/б ε>0
существует no
для всех точек из Х n>no
выполняется нер-во |fn(x)-f(x)|<ε.
Если последовательность {fn(x)}
только сходится к f(x)
на Х, то л/б х из Х существует свой no,
зависимый от х, для которого при n>no
справедливо |fn(x)→f(x)|<ε
и может оказаться что для всех таких х
из Х можно подобрать общий no.
Равномерная же
сходимость последовательности fn(x)→f(x)
означает, что при л/б ε можно задать
no,
что в л/б х из Х значение fn
будет отличаться от f
меньше чем на ε. О-е: Ряд ∑Un(x)
равномерно сходится на Х, если на Х
равномерно сходится последовательность
его частичных сумм.
,
по условию 1 >0и, значит,
.
Послед-сть
не
убывает и ограничена сверху. Значит,
существует предел
.
.
Осталось
доказать, что
.
и
так как по условию 2
,
.
,
и
.
По теореме Лейбница этот ряд сходится.