Шпоры по рядам / ш1эм
.doc
2. ряды с +
членами. Теоремы сравнения рядов
А.) Теорема 1
Пусть даны 2 ряда
с неотриц. членами ∑Un(1)
и ∑Vn(2),
если хотя бы начиная с некоторого места,
пусть для n>N,
выполняется нер-во Un<
=Vn,
тогда из сходимости р1 следует сходимость
р2 и наоборот.
Д-во:
на основании того, что отбрасывание
конечного числа членов ряда не влияет
на его сходимость, можно считать, что
Un<=Vn
справедливо для л/б n=1,2…
обозначим частичные суммы этих рядов
Sn(U),
Sn(V),
тогда Sn(U)<=
Sn(V).
Пусть ряд 2 сходится. Его частичная
сумма имеет предел, частичная сумма
ряда 2 также имеет предел.
1. свойства
А.) необходимое
условие: если ряд сходится, то посл-сть
его членов →0
Б.) если 2 ряда
сходятся, то при л/б ג
и µ ∑(גu+µv)
также сходится. ∑(גu+µv)=ג∑u+µ∑v
∑un.
N-ым
остатком назовем ряд ∑u(k+n),
если n-ый
остаток сходится, то его сумму обозначим
rn=∑u(n+k)
В.) Если ряд сходится,
то и л/б его остаток сходится. Если
какой-то остаток сходится, то и сам ряд
сходится. Отбрасывание
или присоединение конечного числа
членов ряда не нарушает его сходимости.
Если ряд
сходится, то его остатки стремятся к
нулю.
Г.) Критерий
Коши сходимости ряда
Для того, чтобы
ряд сходился необх и дост, чтобы л/б ε>0
существовал такой номер n0|
л/б n>n0
и и л/б p>=0
было бы справедливо условие
|un+u(n+1)…u(n+p)|<ε
Д-во:
это следует из критерия Коши существования
конечного предела послед. Приминенного
к последовательности частичных сумм
{Sn}
для данного ряда
|Un+Un+1+…Un+p|=|Sn+p-Sn-1|<ε
Б.) Теорема 2
Если суеществует
предел отношения Un/Vn=k,
где 0<=k>=беск,
то из сходимости ряда 2 вытекает
сходимость ряда 1
Д-во:
пусть ряд 2 сходится, k<+беск.
Из определения предела следует, что
для л/б ε>0: Un/Vn<k+ε,
умножить обе части на Vn.
Если сходится ∑Vn,
то сходится ряд ∑Vn(k+ε)
В.) Теорема 3
Если хотя бы начиная
с некоторого места, для n>N
выполняется условие Un+1/Un
<= Vn+1/Vn;
то из сходимости ряда 1 вытекает
сходимость ряда 2
Д-во:
U2/U1<=V2/V1; U3/U2<=V3/V2; Un/Un-1<=Vn/Vn-1;
V1/U1<=V2/U2;
V2/U2<=V3/U3; Vn-1/U/n-1<=Vn/Un; следовательно
V1/U1<=Vn/Un, Un<=(U1*Vn)/V1
3. Признак
Даламбера
Пусть для ряда
∑Un,
где Un>0,
n=1,2..
существует предел Un+1/Un=L;
тогда, если L<1,
то ряд сходится, а если L>1,
то ряд расходится.
Д-во:
Рассмотрим
три случая:
а) пусть l
< 1
. Тогда всегда можно взять e
настолько
малым, чтобы выполнялось неравенство
l +
< 1 и,
начиная с некоторого n
,
неравенство
б)
пусть l
> 1
. Выбираем e
так, чтобы =
l - 1 > 0
то ряд
(1)
сходится; если l
> 1 ,
то ряд (1)
расходится.
где
q
= l + ,
в силу чего ряд (1)
будет сходящимся;
потому
что
Таким
образом, доказано, что если