Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
25
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
35.84 Кб
Скачать

2. ряды с + членами. Теоремы сравнения рядов

А.) Теорема 1

Пусть даны 2 ряда с неотриц. членами ∑Un(1) и ∑Vn(2), если хотя бы начиная с некоторого места, пусть для n>N, выполняется нер-во Un< =Vn, тогда из сходимости р1 следует сходимость р2 и наоборот.

Д-во: на основании того, что отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, можно считать, что Un<=Vn справедливо для л/б n=1,2… обозначим частичные суммы этих рядов Sn(U), Sn(V), тогда Sn(U)<= Sn(V). Пусть ряд 2 сходится. Его частичная сумма имеет предел, частичная сумма ряда 2 также имеет предел.

1. свойства

А.) необходимое условие: если ряд сходится, то посл-сть его членов →0

Б.) если 2 ряда сходятся, то при л/б ג и µ ∑(גu+µv) также сходится. ∑(גu+µv)=ג∑u+µ∑v

un. N-ым остатком назовем ряд ∑u(k+n), если n-ый остаток сходится, то его сумму обозначим rn=∑u(n+k)

В.) Если ряд сходится, то и л/б его остаток сходится. Если какой-то остаток сходится, то и сам ряд сходится. Отбрасывание или присоединение конечного числа членов ряда не нарушает его сходимости. Если ряд сходится, то его остатки стремятся к нулю.

Г.) Критерий Коши сходимости ряда

Для того, чтобы ряд сходился необх и дост, чтобы л/б ε>0 существовал такой номер n0| л/б n>n0 и и л/б p>=0 было бы справедливо условие |un+u(n+1)…u(n+p)|<ε

Д-во: это следует из критерия Коши существования конечного предела послед. Приминенного к последовательности частичных сумм {Sn} для данного ряда

|Un+Un+1+…Un+p|=|Sn+p-Sn-1|<ε

Б.) Теорема 2

Если суеществует предел отношения Un/Vn=k, где 0<=k>=беск, то из сходимости ряда 2 вытекает сходимость ряда 1

Д-во: пусть ряд 2 сходится, k<+беск. Из определения предела следует, что для л/б ε>0: Un/Vn<k+ε, умножить обе части на Vn. Если сходится ∑Vn, то сходится ряд ∑Vn(k+ε)

В.) Теорема 3

Если хотя бы начиная с некоторого места, для n>N выполняется условие Un+1/Un <= Vn+1/Vn; то из сходимости ряда 1 вытекает сходимость ряда 2

Д-во: U2/U1<=V2/V1; U3/U2<=V3/V2; Un/Un-1<=Vn/Vn-1;

V1/U1<=V2/U2; V2/U2<=V3/U3; Vn-1/U/n-1<=Vn/Un; следовательно V1/U1<=Vn/Un, Un<=(U1*Vn)/V1

3. Признак Даламбера

Пусть для ряда ∑Un, где Un>0, n=1,2.. существует предел Un+1/Un=L; тогда, если L<1, то ряд сходится, а если L>1, то ряд расходится.

Д-во:

  Рассмотрим три случая:   а) пусть l < 1 . Тогда всегда можно взять e   настолько малым, чтобы выполнялось неравенство

l +   < 1 и, начиная с некоторого n , неравенство где q = l + , в силу чего ряд (1) будет сходящимся;

  б) пусть l > 1 . Выбираем e   так, чтобы  = l - 1 > 0 потому что  Таким образом, доказано, что если

то ряд (1) сходится; если l > 1 , то ряд (1) расходится.

Соседние файлы в папке Шпоры по рядам