Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
26
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
38.4 Кб
Скачать

12. Теорема о виде остаточного члена ряда Тейлора

Пусть действ. f(x) определена в окрестности хо и имеет в ней производные всех порядков, тогда ряд ∑ f^n(xo)/n! * (x-xo)^n называется рядом Тейлора в точке хо.

Если f(x) (n+1) раз непрерывно диф-ма на интервале (xo-h,xo+h), h>0, то остаточный член r n(x) ее ряда можно записать в виде (вместо a=xo)

Д-во: Построим вспомогательную функцию (3) тогда (а)=f(x)(x)=f(x)+f `(x)(x-x)+..=f(x)  (a)=f(x) и (x)=f(x). Тогда по т-ме Ролля найдется точка  в которой ’()=0. получим

Д-во:

Мo и М1 можно соединить ломанной из D. Если последовательно перебирать вершины ломаной, то найдется такая сторона, на концах которой ф-ция принимает разные знаки. Будем считать, что Mo, M1 – концы стороны. x=xo+t(x1-xo), y=yo+t(y1-yo), где o<t<1

Если т. М(х,у) передвигается вдоль этой стороны, то первоначальная ф-ция превращается в ломаную ф-цию от t. f(t)=f(xo+t(x1-xo), yo+t(y1-yo)); очевидно, что F(t) непрерывна.

Существует промежуточная точка t’, где F(t’)=0; мы нашли M’(x’,y’) в f(M’)=0;

13. Функции непрерывные в области. Теорема Больцано -Коши

Пусть f(x1..xn) непрерывна в каждой точке множ-ва M n-го пространства, тогда она непрерывна и в самом множестве.

Теорема Больцано-Коши

Пусть f(x, y) определена на непрерывна в некоторой связной области D. Если в 2 точках Mo(xo,yo), M1(x1,y1), f(xo,yo)<0, f(x1,y1)>0 функция принимает значения разных знаков, то в этой области существует точка M’(x’,y’), в которой ф-ция обращается в 0.

’()=0. получим

Д-во:

ΔU=f(xo+Δx, yo+Δy, zo+Δz)- f(xo,yo, zo)=[ f(xo+Δx, yo+Δy, zo+Δz)- f(xo,yo+Δy, zo+Δz)]+[ f(xo, yo+Δy, zo+Δz)- f(xo,yo, zo+Δz)]+[ f(xo, yo, zo+Δz)- f(xo,yo, zo)]= f(x)'(xo+өΔx, yo+Δy, zo+Δz)Δx+ f(y)'(xo, yo+өΔy, zo+Δz)Δy+ f(z)'(xo, yo, zo+өΔz)Δz.

f(x)'(xo+өΔx, yo+Δy, zo+Δz)= f(x)'(xo, yo, zo)+a;

f(y)'(xo, yo+өΔy, zo+Δz)= f(y)'(xo, yo, zo)+b;

+ f(z)'(xo, yo, zo+өΔz)= + f(z)'(xo, yo, zo)+c;

a,b,c зависят от Δх, Δy, Δz. Если Δ,x,y,z→o, то a,b,c→0; равенство (1)

14. Полное приращение функции. Теорема о полном приращении

Пусть x=xo, y=yo, x=xo. Придадим переменным приращение Δx, Δy, Δz.

Получим ΔU=Δf(xo,yo,zo)=f (x)’ (xo,yo,zo)Δx+ f (y)’ (xo,yo,zo)Δy+ f (z)’ (xo,yo,zo)Δz+aΔx+bΔy+cΔz (1)

Теорема: если частные производные f(x)’(x,y,z), f(y)’(x,y,z), f(z)’(x,y,z) существуют не только в точке (xо,yо,zо), но и в некоторой окрестности и кроме того непрерывна как ф-ии от x,y,z, то имеет место формула (1)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Шпоры по рядам