Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
25
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
56.83 Кб
Скачать

Теорема. (Признак Вейерштрасса). Пусть л/б х из Х выполняется неравенство . Пусть, кроме того, ряд   сходится. Тогда ряд  сходится на множестве   абсолютно и равномерно.

Док-во. Достаточно проверить праведливость критерия Коши, т.е. доказать, что . Но последнее нер-во следует из того, что , а для ряда   выполняется критерий Коши, т.е. .

. Из сходимости геометр. ряда Mqn (q<1) по признаку сравнения следует сход-ть∑ Сnxn, т.е. абс. сход-ть ряда (2) при рассматриваемом х<x0. Eсли ряд (2) расходится в точке х00, то при х>x0 он не может сходится, т.к. по доказанному он бы сходился в точке х0 при х>x0 ряд (2) расходится

Следствие: Если ст. ряд f(x) расходится при х≠xo, то он расходится и для л/б х, |x|>|xo|

Д-во: если бы ряд сходлся бы при таких х, то в силу теоремы Абеля он бы сходился абсолютно при всех х, в частности при х≠хо, что противоречит условию.

I случай. Область сход-сти состоит из 1 т., ряд сходится только при хо. Общий член этого ряда не стремится к нулю

II случай. Состоит из всех т. оси х. с некоторого члена все члены меньше членов убывающей геом. Прогрессии, ряд сходится на всей числовой прямой

III случай. Больше, чем 1 точка, но не вся числовая прямая.

9. степенной ряд

Степенным рядом называется функциональный ряд вида ao+a1(x-xo)+…an(x-xo)^n

Т-ма Абеля

Если степенной ряд (2) сходится в точке х00, то он абсолютно сходится при х<х0, т.е. на ]-x0,x0[; если он расходится в точке х0 0, то расходится при х<x0, т.е. на ]-,-x0[ и ]x0,+[.

Д-во: Если сходится , то lim и сходящаяся последовательность {} ограничена: (n)[ M](n)[|Cn| M/|x0n|. Если |x|<|x0|, то =Cn|x|n M/|x0n||x|n= M(|x|/|x0|)n= Mqn, где q=|x|/|x0|<1

10. Радиус сходимости.

Радиусом сходимости назовем такое R , что при всех х, таких что |x|<R ряд сходится, а при всех х, |x|>R, ряд расходится. (-R, R) – интервал сходимости.

Замечание: при |x|<R ряд сходится абсолютно. В точке x=R x=-R надо исследовать отдельно.

Нахождение радиуса сходимости.

Составим ряд из модулей данного ряда и применим к нему признак Даламбера. Найдем предел (U(n+1)/Un). Ряд сходится при |x|<lim(an/a(n+1); расходится при |x|>lim(an/a(n+1);

Признак Даламбера:

                                    

Признак Коши:

          

11. Аналитические функции

f(x) аналитическая в точке из R, если может быть представлена в виде степенного ряда с действ. коэф.

Утв. Если f(x) раскладывается в окрестности точки xo в степенной ряд с радиусом сходимости R, то

  1. f(x) имеет на интервале (xo-R, xo+R) производные всех порядков, которые могут быть найдены по членным диф-ием.

  2. степенной ряд можно по членно диф-вать и интегрировать на интервале (xo-R, xo+R)

  3. радиусы сходимости степенного ряда и рядов, полученных из него по членным диф-нием и интегрированием совпадают.

Теорема: Если f(x) раскладывается в нек. окрестности токи xo в степенной ряд, то an=f^n(xo)/n! Это разложение единственно

Соседние файлы в папке Шпоры по рядам