Шпоры по рядам / ш3эм
.doc
Теорема.
(Признак Вейерштрасса).
Пусть л/б х из Х выполняется неравенство
Док-во.
Достаточно проверить праведливость
критерия Коши, т.е. доказать, что
. Из сходимости
геометр. ряда
Следствие:
Если ст. ряд f(x)
расходится при х≠xo,
то он расходится и для л/б х, |x|>|xo|
Д-во: если бы ряд
сходлся бы при таких х, то в силу теоремы
Абеля он бы сходился абсолютно при всех
х, в частности при х≠хо, что противоречит
условию.
I
случай.
Область сход-сти состоит из 1 т., ряд
сходится только при хо. Общий член этого
ряда не стремится к нулю
II
случай.
Состоит из всех т. оси х. с некоторого
члена все члены меньше членов убывающей
геом. Прогрессии, ряд сходится на всей
числовой прямой
III
случай.
Больше, чем 1 точка, но не вся числовая
прямая.
9. степенной
ряд
Степенным рядом
называется функциональный ряд вида
ao+a1(x-xo)+…an(x-xo)^n
Т-ма Абеля
Если степенной
ряд (2) сходится в точке х00,
то он абсолютно сходится при х<х0,
т.е. на ]-x0,x0[;
если он расходится в точке х0
0,
то расходится при х<x0,
т.е. на ]-,-x0[
и ]x0,+[.
Д-во:
Если сходится
.
Пусть, кроме того, ряд
сходится. Тогда ряд
сходится
на множестве
абсолютно и равномерно.
.
Но последнее нер-во следует из того,
что
,
а для ряда
выполняется критерий Коши, т.е.
.
Mqn
(q<1)
по признаку сравнения следует сход-ть∑
Сnxn,
т.е. абс. сход-ть ряда (2) при рассматриваемом
х<x0.
Eсли
ряд (2) расходится в точке х00,
то при х>x0
он не может сходится, т.к. по доказанному
он бы сходился в точке х0
при х>x0
ряд (2) расходится
, то lim
и
сходящаяся последовательность {
}
ограничена: (n)[
M](n)[|Cn|
M/|x0n|.
Если |x|<|x0|,
то 
=Cn|x|n
M/|x0n||x|n=
M(|x|/|x0|)n=
Mqn,
где q=|x|/|x0|<1
10. Радиус
сходимости.
Радиусом сходимости
назовем такое R
, что при всех х, таких что |x|<R
ряд сходится, а при всех х, |x|>R,
ряд расходится. (-R,
R)
– интервал сходимости.
Замечание: при
|x|<R
ряд сходится абсолютно. В точке x=R
x=-R
надо исследовать отдельно.
Нахождение
радиуса сходимости.
Составим ряд из
модулей данного ряда и применим к нему
признак Даламбера. Найдем предел
(U(n+1)/Un).
Ряд сходится при |x|<lim(an/a(n+1);
расходится при |x|>lim(an/a(n+1);
Признак Даламбера:
Признак Коши:
11. Аналитические
функции
f(x)
аналитическая в точке из R,
если может быть представлена в виде
степенного ряда с действ. коэф.
Утв. Если f(x)
раскладывается в окрестности точки xo
в степенной ряд с радиусом сходимости
R,
то
f(x)
имеет на интервале (xo-R,
xo+R)
производные всех порядков, которые
могут быть найдены по членным диф-ием.
степенной ряд
можно по членно диф-вать и интегрировать
на интервале (xo-R,
xo+R)
радиусы сходимости
степенного ряда и рядов, полученных
из него по членным диф-нием и
интегрированием совпадают.
Теорема:
Если f(x)
раскладывается в нек. окрестности токи
xo
в степенной ряд, то an=f^n(xo)/n!
Это разложение единственно
