Метод Ньютона (метод дотичних).

І дея методу полягає в тому, що проводиться дотична до кривої у = F (х) при х=с і шукається точка перетину дотичної з віссю абсцис. При цьому не обов'язково задавати відрізок [а,b], що містить корінь рівняння (5.1), а досить лише знайти деяке початкове наближення кореня х=с₀, в якій F(c₀)F"(c₀)>0

Рівняння дотичної, проведеної до кривої у=F(x) у точці М₀ з координатами с₀ і F(c_o), має вид :

у-F(c_o)=F' (с₀) .

Звідси знайдемо наступне наближення кореня c₁ як абсцису точку перетину дотичної з віссю 0х (у =0):

с₁=с₀-F(c₀)/F’(c₀)

Аналогічно можуть бути знайдені і наступні наближення як точки перетину дотичних з віссю абсцис , проведених у точках M₁, M₂, і т.д. (рис. 7.3). Формула для n+1-го наближення має вид

c_n+1=c_n-F(c_n)/F’(c_n). (5.3)

Достатні умови збіжності методу Ньютона дає така теорема.

Теорема . Нехай на відрізку [а;b ]функція F(x) має неперервні із сталими знаками похідні F'(x) ≠ 0,F''(x)≠ 0 і F(a)F(b) < 0. Тоді існує такий окіл Rа;b] кореня х* рівняння F(x) = 0, що для будь-якого х_оє R послідовність c_k}, обчислена за формулою (5.3), збігається до кореня х*.

Оцінимо швидкість збіжності методу Ньютона.

Можна довести, що для методу Ньютона справедлива оцінка

/c_k - x*/ ,

де M₂= , m₁=

З цієї оцінки видно, що для досягнення заданої точності ітераційний процес треба продовжувати доти, поки для двох послідовних наближень c_k і c _k-1 не виконуватиметься нерівність

/c_k – c_k-1/

Якщо на відрізку  а;b] справедлива нерівність М₂<2т₁ то ітераційний процес можна закінчити, коли виконується умова /c_k – c_k-1/ .

Перевага методу Ньютона перед методом ітерацій у тому, що він має вищу швидкість збіжності. Так, корінь x* є [2;3 ] рівняння х³ - 2х -5 =0 з точністю ε=10^-6 і ε=10^-9 методом Ньютона був обчислений за п'ять і шість ітерацій відповідно, тоді як методом ітерації він був обчислений не менш ніж за шість і десять ітерацій відповідно.

З формули (5.3) видно, що чим більше значення f(x) в околі кореня, тим менша поправка додається до попереднього наближення. Тому метод Ньютона зручно застосовувати тоді, коли в околі кореня графік функції у = f(x) має значну крутість. Крім того, методом Ньютона можна знаходити не тільки дійсні корені рівнянь, а й комплексні. Метод Ньютона легко поширюється і на розв'язування систем нелінійних рівнянь з багатьма невідомими.

Недоліком методу Ньютона є те, що на кожній ітерації треба обчислювати не тільки значення функції f(x), а й значення її похідної. Обчислення похідної f' (x) може бути значно складнішим від обчислення f(x).

Приклад 2. Методом дотичних уточнити корінь рівняння x³-x-1=0,відділений на відрізку [1, 2].

Маємо f(x)=x³-x-1, f'(x)=Зх²-1, f”(x)=6.

Тому що на відрізку [1, 2] f”(x)>0, то дотичну треба взяти в правому кінці відрізка (тобто x=b=2, де f(2)=5>0. Ще не обчислюючи c, можна сказати, що точка c буде правим кінцем нового відрізка [a₁, b₁] (а<x_о<c, a₁=a, b ₁=с). Думаючи c=2, одержимо f’(2)=11 і далі по формулі c_n+1=c_n-f(c_n)/f’(c_n): c=2- =1.6

Наближене значення c узято з надлишком, тому що c>x₀. Новий відрізок повинний бути [1; 1,6] (a₁=a=1, b ₁=c=l,6).

Ми уточнювали корінь рівняння, заміняв один з кінців вихідного відрізка [а, b] точкою c, більш близької до кореня. Очевидно, більший ефект може бути досягнуть при наближенні до кореня одночасно c двох сторін. Це досягається застосуванням комбінованих методів.

МЕТОД ХОРД

Метод хорд — один з поширених ітераційних методів. Його ще називають методом лінійного інтерполювання, методом пропорційних частин.

Нехай задано рівняння f(х) = 0, де f(х) на відрізку [а;b] має неперервні похідні першого й другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку, і f(a) f(b) < 0, тобто корінь х* рівняння відокремлений на [а;b].

І дея методу хорд в тому, що на досить малому відрізку дуга кривої у=f(x) замінюється хордою і абсциса точки перетину хорди з віссю Ох є

наближеним значенням кореня.

Нехай для визначеності f(x) > 0. f'(x) > 0, f(a) < 0. f(b) > 0 (рис. 7.4, а). Візьмемо за початкове наближення шуканого кореня х* значення x₀= а. Через точки A₀ і В проведемо хорду

і за перше наближення кореня х* візьмемо абсцису x₁ точки перетину хорди з віссю Ох. Поклавши y=0, х=x₁одержуємо

чи (5.4)

Новий відрізок, що відокремлює корінь, можна визначити, порівнюючи знаки f (а), f (x₁) і f (b). Очевидно, що точка x₁ ближче до точки х*, чим а, якщо у'у" > 0 (див. рис. 7.4,а), і відрізком, що відокремлює корінь, буде [х₁,b] ,у противному випадку, якщо у'у" < 0 (див. рис.7.4, в), відрізком, що відокремлює корінь, буде [а,х₁].

Абсциса х₂ точки перетину хорди А₁В буде другим наближенням кореня. Продовжуючи цей процес необмежено, дістанемо послідовність х_о, х₁, х₂, ..., х_n, ...наближених значень кореня х* даного рівняння.

Для х_к+1, якщо у'(х)у"(х) > 0 маємо:

к=0,1,2,… (5.5)

Якщо у'(х)у"(х) < 0 , то для х_к+1 можна записати формулу

, к=0,1,2,… (5.6)

Достатні умови збіжності методу хорд дає така теорема.

Теорема. Нехай на відрізку [а;b] функція f(x) неперервна разом із своїми похідними до другого порядку включно, причому f(a)f(b) < о, а похідні f'(x) і f''(х) зберігають сталі знаки на [а;b], тоді існує такий окіл кореня х* рівняння f(x)= 0, що для будь-якого початкового наближення х_о з цього околу послідовність [х_k], обчислена за формулою (5.5) або (5.6), збігатиметься до кореня х*.

Для оцінки похибки можна скористатися формулою

/х_k - x*/ ,

де M₂= , m₁=

Отже, корінь х* рівняння f(x) =0 буде знайдено методом хорд із наперед заданою точністю є , якщо для двох послідовних наближень х_k.і х_k-₁ справджуватиметься нерівність

.

Приклад 3. Методом хорд уточнити корінь рівняння x³-x-1=0,відділений на відрізку [1,2].

Тут f(x)=x³-x-1, f'(x)=Зх²—1, f”(x)=6.

Тому що на відрізку [1, 2] маємо f”(x)>0, f(1)<0, f(2)>0, то крапка х₁, обумовлена по формулі (5.4)

=1- =1.1,

буде лівим кінцем нового відрізка [a₁, b₁] (х₁<x*<b, a₁=х₁, b₁=b.

Помітимо, що наближене значення с узяте з недоліком, тому що х₁<х*, і при округленні з надлишком є небезпека «переступити» через корінь. Як відрізок [a₁, b₁] варто тепер узяти відрізок [1,1; 2].