Отже, інтервали монотонності

(- ; ) ( ; )

не містять коренів даного рівняння, тому що функція f(х)=х³-х-1 не змінює знак на цих інтервалах, а на інтервалі ( ; ) розташований його єдиний дійсний корінь.

Зі знайденого нескінченного інтервалу виділимо тепер відрізок, що містить єдиний корінь рівняння. У даному випадку для цієї мети досить безпосередньо перевірити знак функції f(x)=x³-х-1 у приналежних ( ; ) целочисленних точках .

Маємо f( )<0, f(1)= 1-1-1 <0, f(2)=8-2-1>0

Отже, єдиний дійсний корінь даного рівняння лежить на відрізку [1, 2].

Поставлена задача вирішена . Подальше звуження границь знайденого інтервалу - це вже - задача про уточнення кореня.

УТОЧНЕННЯ КОРЕНЯ МЕТОДОМ ПОДІЛУ ВІДРІЗКА ПОПОЛАМ

Метод поділу відрізка пополам (або метод дихотомії) застосовний для уточнення кореня рівняння F(х)=0 з наперед заданою точністю, допустимою для даної ЕОМ, якщо функція F(х) задовольняє умови теореми 2.

П означимо через х — точне значення кореня рівняння (5.1) на відрізку [a;b], а ε — його граничну абсолютну похибку. Суть методу в тому, що відрізок [а;b] ділять пополам точкою с₀=(a+b)/2 і обчислюють F(c₀). Якщо F(с₀) = 0, то х=с₀ є точним значенням кореня. Якщо F(с₀) ≠ 0, але b - а < 2ε, то | x*- с₀| <ε і значення х=с₀ буде шуканим наближеним коренем. Якщо F(с₀) ≠ 0 і b-а >2ε , тоді розглядають той з двох відрізків [а;с₀] і [с₀;b]. На кінцях [с₀;b] функція F(х) набуває значень протилежних знаків, позначимо цей відрізок [a;b] (рис7.2). На відрізку [a;b] функція F(х) задовольняє умови теореми 2. Далі відрізок [a;b] точкою c₁=(a+b)/2 ділять пополам і міркують так само, як і раніше.

Таким чином, після кожної ітерація відрізок, на якому розташований корінь, зменшується вдвічі, тобто після n ітерацій він скорочується в 2n раз. Ітераційний процес продовжується доти, поки значення функції після n ітерації не стане меншим по модулі деякого заданого числа ε. При цьому абсолютна похибка знайденого кореня не перевищує ε. . Методи дихотомії легко реалізується на ЕОМ, але потребує значного обсягу обчислень, щоб досягти високої точності наближеного кореня.

Програма методу має циклічний характер. У програмі при кожному проходженні циклу виконується серія команд

с=(а+b)/2 (5.2)

якщоF(a)F(b)<0 то b:=c інакше a:=с все

Повторення команд циклу продовжують доти, поки не виконається одна з умов F(с) = 0 або b- а < 2є.

Приклад 1. Методом поділу відрізка пополам уточнити корінь рівняння x³-x-1=0, відділений на відрізку [1, 2].

f(x)=x³-x-1, a=1,b=2, с₀=(a+b)/2=(1+2)/2=1.5.

f(1)=-1<0, f(1,5)=0,875>0, f(2)=5>0.

Тому що знак функції f(x) міняється на відрізку [1; 1,5], то a=1, b=c₀=l,5.

с₁=(a+b)/2=(1+1.5)/2=1.25.

f(1,25)=1,25³-1,25-1=-0,296875

Якщо f(с₁) ≠ 0 і 1,5-1 > 2є, тоді розглядають той з двох відрізків [1;1,25] і [1,25;1,5], на кінцях якого функція f(х) набуває значень протилежних знаків. Позначимо цей відрізок [1,25;1,5].

с₂=(a+b)/2=(1,25+1.5)/2=1.375.

f(1,375)=1,375³-1,375-1=0,224609375

Тоді розглянемо відрізок [1,25;1,375] і с₃=(a+b)/2=(1,25+1.375)/2=1,3125

f(1,3125)=1,3125³-1,3125-1=-0,051513671875

Ітераційний процес продовжується доти, поки

У методі поділу відрізка пополам положення крапки с_к визначається незалежно від властивостей функції f(x)-лівої частини заданого рівняння. Природно очікувати, що облік властивостей цієї функції повинен поліпшити одержувані наближення.