5. Некоторые задачи, приводящие к вариационным неравенствам.

Пусть f С¹(К), К R^N − замкнутое выпуклое множество и F(x)=grad f(x).

Предложение 5.1.

Пусть существует х К, такое что f(x)= . Тогда х − решение вариационного неравенства (F(x),y-x)≥0 у К.

Доказательство.

Если у К, то z=x+t(y-x) К (так как К выпукло) при 0≤t≤1, и поэтому функция φ(t)=f(x+t(y-x)), достигает минимума в точке t=0. Следовательно,

0≤φ′(0)=(grad f(x),y-x)=(F(x), y-x).

Предложение доказано.

Предложение 5.2.

Пусть f−выпукла и х К: (F(x),y-x)≥0, у К. Тогда f(x)=min f(y).

Доказательство.

Имеем f(x) ≤ f(y) + (grad f(x), x-y), так как по условию (grad f(x),x-y) ≤ 0, то

f(x)≤f(y) у К.

Предложение доказано.

Предложение 5.3.

Пусть Е Rⁿ и f: Е→R− непрерывно дифференцируемая выпуклая (строго выпуклая) функция. Тогда отображение F(x)=grad f(x) монотонно (строго монотонно).

Доказательство.

Действительно, пусть f− выпуклая, тогда для любых х, у Е имеем f(x)≥f(y)+(F(y),x-y) и f(y)≥f(x)+(F(x),y-x). Складываем эти неравенства и получаем:

f(x)+f(y)≥f(y)+f(x)+(F(y),x-y)+(F(x),y-x). Тогда

(F(y)-F(x),x-y)≤0. Поэтому

(F(y)-F(x),y-x)≥0, x,y E. Следовательно, отображение F-монотонно.

Предложение доказано.