Средняя арифметическая и ее свойства

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифмети­ческая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная). Эта форма средней исполь­зуется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным.

Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В по­добных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариаци­онным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам.

Свойства средней арифметической.

Средняя арифметическая обладает некото­рыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчетах:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты.

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифмети­ческой равна нулю.

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произ­вольной величины С.

4. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину.

5. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняятакже соответственно увеличится или уменьшится в А раз.

6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая отэтого не изменится.

Другие виды средних величин

Средняя гармоническая взвешенная:

,

где

Средняя гармоническая невзвешенная.

Эта форма средней, используемая зна­чительно реже, имеет следующий вид:

.

Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощенным условным примером. Предположим, в автохозяйстве эксплуатируются два электромобиля разных моделей, работающих на однотипных подзаряжаемых за ночь аккумуляторных батареях. Первый электромобиль расходует на 1 км пути 1,0 кВт ч электроэнергии, второй - 0,6 кВт- ч. Каков средний расход электроэнергии на 1 пройденный километр?

На первый взгляд решение этой задачи заключается в осреднении индивидуальных значений потребления электроэнергии по двум электромобилям, т.е. (1,0 + 0,6) : 2 = 0,8 кВт ч. Проверим обоснованность такого подхода на примере одного дня работы машин, в течение которого они расходуют один заряд аккумулятора, предположим, 60,0 кВт ч (как будет показано ниже, конкретная цифра значения не имеет). За этот день первая машинам пройдет 60 км (60,0/1,0), пробег отарой составит 100 км (60,0/0,6), т.е. в сумме- 160 км. Если же заменить индивидуальные значения признака их предполагаемым средним значе­нием, то общий пробег, выступающий в данном случае в качестве определяющего показа­теля, сократится до 150 км (60,0/0,8 + 60,0/0,8). Следовательно, полученная средняя рас­считана неверно.

Средняя геометрическая.

Еще одной формулой, по которой может осуществлять­ся расчет среднего показателя, является средняя геометрическая:

- не взвешенная;

- взвешенная.

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста.

Средняя квадратическая.

В основе вычислений ряда сводных расчетных показа­телей лежит средняя квадратическая:

- не взвешенная;

- взвешенная.

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

Структурные средние (мода и медиана).

В отличие от степен­ных средних, которые в значительной степени являются абст­рактной характеристикой совокупности, структурные средние выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами совокупности, что делает их неза­менимыми при решении ряда практических задач.

Модой( ) называется значение признака, которое наиболее часто встречается в совокупности (в статистическом ряду).

Медианой( )называется значение признака, которое лежитв се­редине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равныепо численности части.

Ранжированный ряд — ряд, расположенный в порядке возрас­тания или убывания значений признака.

Для определения медианы сначала определяют ее местов ря­ду, используя формулу:

Если ряд состоит из четного числа членов, то за медиану ус­ловно принимают среднюю арифметическую из двух срединных значений.

Мода применяется при экспертных оценках, при определе­нии наиболее ходовых размеров обуви, одежды, что учитывается при планировании их производства. Медиана используется при статистическом контроле качества продукции и технологическо­го процесса на промышленных предприятиях; при изучении рас­пределения семей по величине дохода и др. Мода и медиана име­ют преимущество перед средней арифметической для ряда рас­пределения с открытыми интервалами.

Краткий обзор основных понятий 4 – ой лекции

Статистический показатель - количественная характеристика социально- экономических явлений и процессов в условиях качественной определенности.

Система статистических показателей - совокупность взаимосвязанных показате­лей, имеющая одноуровневую или многоуровневую структуру и нацеленная на решение конкретной статистической задачи.

Абсолютный показатель - показатель в форме абсолютной величины, отражаю­щий физические свойства, временные или стоимостные характеристики социально- экономических процессов и явлений.

Относительный показатель - показатель в форме относительной величины, полу­чаемый как результат деления одного абсолютного показателя на другой и отражающий соотношение между количественными характеристиками изучаемых процессов и явлений.

Средний показатель - показатель в форме средней величины, представляющий собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокуп­ности в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина является наиболее ценной, с аналитической точки зрения, и уни­версальной формой выражения статистических показателей. Наиболее распространенная средняя - средняя арифметическая - обладает рядом математических свойств, которые мо­гут быть использованы при ее расчете. В тоже время при исчислении конкретной средней всегда целесообразно опираться на ее логическую формулу, представляющую со­бой отношение объема признака к объему совокупности. Для каждой средней существует только одно истинное исходное соотношение, для реализации которого, в зависимости от имеющихся данных, могут потребоваться различные формы средних. Однако во всех слу­чаях, когда характер осредняемой величины подразумевает наличие весов, нельзя вместо взвешенных формул средних использовать их невзвешенные формулы.

Тест к 4 – ой лекции

1. К какому виду по степени охвата единиц совокупности относится показа­тель «Активы коммерческого банка»?

а) индивидуальный;

б) сводный.

2. К какому виду по временному фактору относится показатель «Число рекла­маций на продукцию предприятия»?

а) моментный;

б) интервальный.

3. Чтобы получить относительный показатель динамики с переменной базой сравнения для периода, необходимо:

а) перемножить относительные показатели динамики с постоянной базой срав­нения за i-й и (i-1 )-й периоды;

б) разделить относительный показатель динамики с постоянной базой сравнения за i-й период на аналогичный показатель за период (i-1);

в) разделить относительный показатель динамики с постоянной базой сравнения за i-й период на аналогичный показатель за период (i+1).

4. Относительный показатель реализации предприятием плана производства продукции составил 103%, при этом объем производства по сравнению с предшест­вующим периодом вырос на 2% Что предусматривалось планом?

а) снижение объема производства;

б) рост объема производства.

5. Сумма относительных показателей координации, рассчитанных по одной совокупности, должна быть:

а) строго равной 100;

б) меньше 100 или равной 100;

в) меньше, больше или равной 100.

6. Объем совокупности - это:

а) сумма всех значений осредняемого признака по совокупности;

б) общее число единиц, в совокупности.

7. В каких случаях взвешенные и невзвешенные средние равны между собой?

а) при отсутствии весов;

б) при равенстве весов;

в) при отсутствии или равенстве весов.

8. В каких случаях используется средняя гармоническая?

в) когда неизвестен числитель исходного соотношения;

б) когда неизвестен знаменатель исходного соотношения.

9. Если веса осредняемого показателя выражены в промилле, чему будет равен знаменатель при расчете средней арифметической?

а) 100;

б) 1000;

в) 10000.

19