Статистическая проверка гипотез

1 Основные понятия

Данные выборочных обследований являются основой для принятия одного из нескольких альтернативных решений о свойствах и параметрах генеральной совокупности. При этом любое суждение о генеральной совокупности, сделанное на основе выборочных наблюдений, не может рассматриваться как достоверное утверждение, а лишь как предположительное в силу неполноты информации на основе выборки.

Определение 1 Предположение о свойствах и параметрах генеральной совокупности будем называть статистической гипотезой.

Определение 2 Подлежащую проверке гипотезу будем называть основной или нулевой и обозначать Н₀.

Гипотезы разделяют на простые и сложные.

Определение 3 Гипотеза называется простой, если она однозначно характеризует параметр или свойство генеральной совокупности (Н₀: ; или Н₀: - генеральная совокупность распределена по нормальному закону). В противном случае гипотеза называется сложной.

Определение 4 Конкурирующей (альтернативной) гипотезой (Н₁) будем называть гипотезу противоположную нулевой.

Проверка статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить не противоречат ли данные выборочных наблюдений выдвинутой гипотезе. С этой целью производится количественная оценка степени достоверности предлагаемой гипотезы, которая осуществляется с помощью специально построенного статистического критерия.

Определение 5 Статистическим критерием называют однозначно определенное правило, устанавливающее условия, при которых про проверяемую гипотезу (Н₀) можно либо утверждать, что данные не согласуются с ней (противоречат ей) и тогда гипотеза Н₀ отклоняется, либо утверждать, что данные с ней согласуются и гипотеза Н₀ не отклоняется (не противоречит выборочным данным).

Основу критерия составляет специально построенная характеристика (статистика) , точное или приближенное распределение которой известно. Все множество возможных значений статистики будем разбивать на два непересекающихся подмножества (области): критическую область Ω₀ (область отклонения гипотезы) и область принятия решений (гипотезы).

На основе введенных понятий можно сформулировать основной принцип проверки гипотезы Н₀: если наблюденные значения статистики критерия попадают в критическую область, то гипотезу отвергают, а если в область принятия решения, то гипотезу не отвергают. В общем случае статистика - многомерная случайная величина и соответствующие области, упомянутые выше, являются областями многомерными, но мы ограничимся пока, скалярным критерием. В этом случае критическая область и область принятия решения – интервалы или их объединения. Точки, разделяющие критическую область и область принятия решения, будем называть критическими. Нам следует научиться строить критические точки и критическую область. В основе такого построения положен принцип практической невозможности маловероятных событий: зададимся достаточно малой величиной " ", называемой уровнем значимости критерия и определим критическую область (обозначим Ω₀), как множество таких значений , вероятность попадания которых в Ω₀ равнялась бы " ", то есть:

(1)

Если полученное, по данным выборки, значение , то это служит основанием для отклонения гипотезы Н₀. Если же , то делаем вывод, что данные выборки не противоречат гипотезе Н₀ и она не отклоняется. Как бы не была мала вероятность " ", событие является только маловероятным, но не является невозможным, поэтому не исключено, что при верной Н₀ значение может оказаться в критической области и т.д. Рассмотрим ситуации:

• гипотеза Н₀ верна и ее не отвергают согласно критерию;

• гипотеза Н₀ не верна и ее отвергают согласно критерию;

• гипотеза Н₀ верна, но ее отвергают согласно критерию (говорят по ошибке первого рода);

• гипотеза Н₀ не верна, но ее принимают согласно критерию (говорят об ошибке второго рода).

Из определения ошибки первого рода и определения критической области следует, что вероятность совершить ошибку первого рода равна уровню значимости "α", что иногда и берут за определение уровня значимости. Очевидно, что с уменьшением "α" уменьшается критическая область и, стало быть, менее вероятным представляется допустить ошибку первого рода. В частности, при гипотеза Н₀ всегда принимается, т.к. вся область допустимых значений - область принятия решения (гипотезы). Однако, с уменьшением "α" и, стало быть, критической области увеличивается вероятность принятия неверной гипотезы, т.к. увеличивается вероятность попадания в область принятия решения. Обозначим "β" вероятность допустить ошибку второго рода: принять Н₀, когда она не верна. Важной характеристикой статистического критерия является так называемая мощность критерия.

Определение 6 Мощностью статистического критерия будем называть вероятность того, что нулевая гипотеза (Н₀) будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза (Н₁), то есть вероятность не совершить ошибку второго рода.

Введенные понятия позволяют сформулировать естественные требования к статистическому критерию, используемому для построения критической области и области принятия решения. Пусть - вероятность попадания статистики критерия в критическую область, если верна гипотеза Н₀ - вероятность совершить ошибку первого рода, а - вероятность не совершить ошибку второго рода, тогда естественно требовать:

(2)

из чего следует, что критическая область выбирается так, чтобы вероятность попадания в нее была бы минимальной, если верна нулевая гипотеза Н₀, и максимальной, если верна альтернативная гипотеза.

В зависимости от возможных значений статистики критерия и от вида конкурирующей гипотезы Н₁ различают правостороннюю, левостороннюю и двустороннюю критические области.

Критические точки (точки, разделяющие критическую область и область принятия решения) при заданном уровне значимости "α" находят из уравнений:

• для правосторонней критической области (см. рис. 2.1)

; (3)

θ_кр

Рисунок 1 График плотности распределения статистики и выделение правосторонней критической области (II) и области принятия решения (I).

Интервал для левосторонней критической области (см. рис. 2.2)

; (4)

Рисунок 2 График плотности распределения статистики и ведения левосторонней критической области (II) и области принятия решения (I).

Интервал для двусторонней критической области (см. рис. 2.1)

где (5)

f_θ^*(u)

u

θ_кр1

Рисунок 3 График плотности распределения статистики и областей: критической – II; принятия решений – I.

Определив в каждом случае границы критической области, проверяем гипотезу Н₀, предварительно вычислив по выборочным данным . Если попадает в критическую область, то с вероятностью α совершить ошибку первого рода гипотезу Н₀ отвергают, иначе делают вывод, что гипотеза не противоречит выборочным данным.

В рассмотренной общей логической схеме проверки гипотезы следует лишь уточнить;

• критическая статистика строится во многом исходя из тех же соображений, что и при построении статистик для нахождения доверительного интервала, то есть ее закон распределения не должен (по возможности) зависеть от параметров распределения генеральной совокупности

• она должна определять меру расхождения выборочных данных с высказанной (проверяемой) гипотезой Н₀.

Построение статистического критерия производят по-разному, в частности используя принцип отношения правдоподобия. Правдоподобность имеющихся наблюдений х₁,…,х_n (в отношении проверяемой и альтернативной гипотез) дает нам сопоставление соответствующих функций правдоподобия, либо их отношения

,

либо

,

где и - значения функции правдоподобия наблюдений х₁,…,х_n, вычисленные в предположении справедливости соответственно гипотез Н₁ и Н₀. Очевидно, чем правдоподобнее наблюдения в условиях гипотезы Н₀, тем больше и тем меньше .

P.S. Здесь и - векторы параметров закона распределения генеральной совокупности в условиях разных гипотез.

Если - плотность распределения статистики при условиях справедливости Н₀, то построение критерия проверки Н₀ с заданным уровнем значимости α сводится к нахождению 100α%-ой точки распределения и сравнения с .

Ниже рассмотрены задачи на проверку гипотез, в которых критические статистики получены иным способом, но могут быть построены на основе принципа отношения правдоподобия.

2. Проверка гипотез о параметрах нормально распределенных генеральных совокупностей

2.2.1 Проверка гипотезы о значении генеральной средней при известной дисперсии

Пусть х₁,…,х_n выборка объема "n" из генеральной совокупности распределенной нормально с неизвестным математическом ожиданием "а" и известной дисперсией . Пусть - выборочная средняя, являющаяся оценкой математического ожидания (генеральной средней). Пусть а₀ и а₁ – предполагаемые значения генеральной средней. Выдвигаем гипотезу Н₀: а=а₀ и альтернативную ей Н₁: а=а₁. Воспользуемся статистикой

,

которая при условии справедливости Н₀ .

Если а₁>а₀, то строим правостороннюю критическую область (находим t_кр)

, , , ;

где - интегральная функция Лапласа. Сравнив с , примем гипотезу Н₀ при и отвергнем в противном случае.

Если а₁<а₀,то границу левосторонней критической области находим:

, , ,

;

при Н₀ не отвергаем.

Если а₁ не задается и альтернативная гипотеза Н₁ заключается в следующем – Н₁: , то строится двусторонняя критическая область

, , ;

, , ;

при гипотеза Н₀ не отвергается.