
- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
Как
выше было доказано, произвольная система
сил, как угодно расположенных в
пространстве, может быть приведена к
одной силе, равной главному вектору
системы и приложенной в произвольном
центре приведения О,
и одной паре с моментом
,
равным главному моменту системы
относительно того же центра. Поэтому в
дальнейшем произвольную систему сил
можно заменять эквивалентной ей
совокупностью двух векторов — силы
и момента
,
приложенных в точке О.
При изменении положения центра приведения
О
главный вектор
будет сохранять величину и направление,
а главный момент
будет изменяться. Докажем, что если
главный вектор отличен от
нуля и
п
ерпендикулярен
к главному моменту, то система сил
приводится к одной силе, которую в этом
случае будем называть равнодействующей
(рис.8). Главный момент
можно представить парой сил (
,
)
с плечом
,
тогда силы
и главный век тор
образуют
систему двух
с
ил
эквивалентную
нулю, которую можно отбросить. Останется
одна сила
,
действующая вдоль прямой, параллельной
главно
Рис 8 му вектору и проходящей на расстоянии
h=
от плоскости, образуемой векторами
и
.
Рассмотренный случай показывает, что
если с самого начала выбрать центр
приведения на прямой
L, то систему
сил сразу бы привели к равнодействующей,
главный момент был бы равен нулю. Теперь
докажем, что если главный вектор отличен
от нуля и не перпендикулярен к главному
моменту, то за центр приведения может
быть выбрана такая точка О*,
что главный момент относительно этой
точки и главный вектор расположатся на
одной прямой. Для доказательства разложим
момент
на
две составляющие- одну
,
направленную вдоль главного вектора,
и другую
- перпендикулярную к главному вектору.
Тем самым пара сил
раскладывается на две пары с моментами:
и
,
причем плоскость первой пары
перпендикулярна к
,
тогда плоскость второй пары,
перпендикулярная к вектору
(рис 9) содержит вектор
.
Совокупность пары с моментом
и
силы
образует
систему сил, которая может быть сведена
к одной силе (рис.8) , проходящей через
точку О* . Таким образом (рис 9), совокупность
главного вектора
и главного момента
в точке О
сведена к силе
,
проходящей через точку О*,
и паре с моментом параллельным этой
прямой
,
что и требовалось доказать. Совокупность
силы и пары, плоскость которой
перпендикулярна к линии действия силы,
называется динамой (рис.10). Пару сил
можно представить двумя равными по
величине силами (
,
),
расположенными как показано на рис 10.
Но, сложив две силы
и
,
получим их сумму
и оставшуюся силу
,
откуда следует (рис.10), что совокупность
главного вектора
и главного момента
в точке О,
может быть сведена к двум непересекающимся
силам
и
.
Рассмотрим
некоторые случаи приведения системы
сил.
1. Плоская система сил. Пусть для определённости все силы находятся в плоскости OXY. Тогда в самом общем случае
Главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, их скалярное произведение равно нулю, действительно
,
следовательно, главный вектор перпендикулярен главному моменту: плоская система сил приводится к равнодействующей.
2. Система параллельных сил. Пусть для определённости все силы параллельны оси OZ. Тогда в самом общем случае
Здесь также главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, а их скалярное произведение равно нулю, действительно
,
следовательно,
и этом случае главный вектор перпендикулярен
главному моменту: система параллельных
сил приводится к равнодействующей. В
частном случае, если
равен нулю, то и главный вектор сил равен
нулю, и система сил приводится к паре
сил, вектор момента которой находится
в плоскости OXY.
Систематизируем теперь рассмотренные
случаи. Напомним: произвольная
пространственная система сил, приложенная
к твердому телу, статически эквивалентна
силе, равной главному вектору, приложенной
в произвольной точке тела (центре
приведения), и паре сил с моментом, равным
главному моменту системы сил относительно
указанного центра приведения.
1) Пусть =0, ≠0. Это случай, когда система сил приводится к одной силе, которую будем называть равнодействующей системы сил. Примером такой системы сил можно считать сходящуюся систему сил, для которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке.
2) ≠0, =0 . Система сил эквивалентна паре сил.
3) ≠0, ≠0, но . Главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, их скалярное произведение равно нулю, главный вектор и главный момент ортогональны. Любая система векторов, у которой главный вектор и главный момент не равны нулю и они перпендикулярны, эквивалентна равнодействующей, линия действия которой проходит через точку О* (рис 8). Примером такой системы сил можно считать плоскую систему сил или систему параллельных сил.
4) ≠0, ≠0, и главный вектор и главный момент неортогональны. В этом случае система сил приводится к динаме или к двум непересекающимся силам.