§ 3. Скорость точки.

Пусть за время точка пройдет по заданной траектории путь , тогда отношение характеризует среднюю быстроту изменения пути со временем за интервал или среднюю скорость движения точки за этот интервал. Предел средней скорости за интервал , при , называется скоростью в данный момент t

У словимся точкой, поставленной над буквой, в дальнейшем обозначать производную по времени. Для того, чтобы определить и направление движения, введём понятие вектора скорости. Пусть и определяют два положения точки на траектории за промежуток времени (рис. 22). Скоростью точки будем называть

^или

^(2.5)

Вектор скорости точки равен векторной производной вектор-радиуса точки по времени и направлен по касатель­ной к траектории движения точки. Разложим вектор-радиус по соответствующим осям декартовой системы координат

.

Дифференцируя обе части этого равенства по времени и учитывая, что орты постоянны по величине и направлению будем иметь

,

что позволяет записать

^{. (2.6)}

Модуль скорости равен

§ 4. Ускорение точки.

В общем случае движение точки происходит с переменной по величине и по направлению скоростью. Желая охарактеризовать изменение скорости, вводят меру быстроты этого изменения со временем — ускорение, которое должно учитывать векторное (геометрическое) изменение скорости, т. е. изменение ее по величине и по направлению. Для этого рассмотрим (как и для скорости) два значения скорости в моменты времени , и определим ускорение как

(2.6)

Если радиус – вектор представлен разложением по ортам декартовой системы координат

, ^тогда

и

.

Модуль ускорения равен

.

Считая координатами точки N – конца вектора , можно рассматривать вектор скорости, согласно (2.5), как скорость конца вектора , а считая - координатами точки М – конца вектора , можно рассматривать вектор ускорения, как скорость конца вектора . Применяя полученные выражения единичных вектором осей натурального триэдра траектории, найдем составляющие вектора ускорения по этим осям. Вспомнив, что вектор ускорения есть производная по времени от вектора скорости, получим

,

но , откуда следует

(2.7)

Равенство (2.7) представляет собой разложение вектора уско­рения по осям натурального триэдра. Обозначив коэффициенты при единичных векторах, и записав проекции ускорения на оси натурального триэдра, соответственно через будем иметь:

причем из (2.7) следует, что

Последнее равенство говорит о том, что вектор ускорения пер­пендикулярен к бинормали, т. е. ускорение лежит в соприкасаю­щейся плоскости. Первое слагаемое в разложении (2.7) - дает касательную (тангенциальную) составляющую ускорения, второе - нормаль­ную составляющую ускорения. Иногда для краткос ти их называют просто касательным и нормальным ускорением. В случае ускоренного движения знаки и одинаковы, в случае замедленного движения - противоположны, т. е. при ускоренном движении касательное ускорение направлено в ту же сторону, что и вектор скорости, а при замедленном движении имеет направление, противоположное скорости (рис. 23).

Итак, вектор ускорения в криволинейном движении может быть представлен как геометрическая сумма двух ускорений: касательного и нормального. Величина ускорения может быть представлена так:

Рассмотрим два частных случая:

а) Случай равномерного движения; величина скорости постоянна, так что ^{, и величина ускорения равна в этом случае}

б) Случай прямолинейного движения; кривизна прямой линии равна нулю и, следовательно, , и .

Из сопоставления этих двух случаев следует, что в равномерном прямолинейном движении ускорение равно нулю.

Отметим, что не следует смешивать и так как первое выражение определяет величину полного ускорения, а второе - абсолютное значение лишь одной его касательной составляющей. На различие этих величин указывалось уже выше (формула (2.2)). Разложение ускорения на касательную и нормальную части имеет простое кинематическое значение. Вектор ускорения, определяющий быстроту изменения вектора скорости по величине и направлению, представляется суммой касательного ускорения, характеризующего изменение величины скорости, и нормального, характеризующего изменение ее по направлению.