Смешанное произведение Выражение смешанного произведения через координаты векторов Упражнение 3.19.
Найти смешанное
произведение векторов
,
где векторы
и
перемножаются векторно, а их результат
на вектор
скалярно, см формулу (10). Затем найти
смешанное произведение по формуле (16).
Проверить свойства (11) и (12) смешанного произведения по формуле (10).
>> syms a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
>> a=[a1 a2 a3]; b=[b1 b2 b3]; c=[c1 c2 c3];
>> cross(a,b)
ans =
[ a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1]
>> rez=ans(1)*c(1)+ans(2)*c(2)*ans(3)*c(3)
rez =
c1*(a2*b3 - a3*b2) - c2*c3*(a1*b2 - a2*b1)*(a1*b3 - a3*b1)
Упражнение 3.20.
С помощью смешанного
произведения доказать, что векторы
,
и
компланарны, определить ориентацию
этой тройки. Ответьте на вопрос: как это
связано понятие компланарность с
понятиями базис и линейная зависимость
для этих векторов. Построить эти векторы.
Вектор
изобразить синим, вектор
зеленым, вектор
красным.
>> a=[1 -2 0];
>> b=[0 1 1];
>> c=[1 2 2];
>> det([a;b;c])
ans =
-2
так как мы получили отрицательный ответ следовательно тройка abc левая
>> plot3(1,-2,0,'^b')
>> grid on
>> box on
>> hold on
>> line([0 1],[0 -2],[0 0],'Color','blue')
>> line([0 0],[0 1],[0 1],'Color','green')
>> plot3(0,1,1,'^g')
>> line([0 1],[0 2],[0 2],'Color','red')
>> plot3(1,2,2,'^r')
>> xlabel('X')
>> ylabel('Y')
>> zlabel('Z')
Упражнение 3.21.
Исследовать с помощью смешанного произведения векторы на компланарность , векторы -некомпланарны, их смешанное произведение равно +1.
A) , и ,
B) , и ,
C) , и .
>> syms a b c
>> det([a -b c;-a b -c;0 b -c])
ans =
0
>> det([2*a b c;a b 0;0 b -c])
ans =
0
>> det([a -b c;a b 0;0 b -c])
ans =
-a*b*c
>>ans=-1
Упражнение 3.22.
Вычислить
если
=А.
>> syms a b c
>> B=[a 2*b -c; a -b 0; 2*a 2*b c]
B =
[ a, 2*b, -c]
[ a, -b, 0]
[ 2*a, 2*b, c]
>> det(B)
ans =
-7*a*b*c
По условию a*b*c=A, значит
=-7*A;
Упражнение 3.23.
Пусть
– некомпланарные векторы. Найти значение
при котором следующие векторы компланарны:
>> syms a b c z
>> p=[a -2*b z*c], q=[3*a b -c], r=[a 0 -z*c]
p =
[ a, -2*b, c*z]
q =
[ 3*a, b, -c]
r =
[ a, 0, -c*z]
>> B=[p;q;r]
B =
[ a, -2*b, c*z]
[ 3*a, b, -c]
[ a, 0, -c*z]
>> det(B)
ans =
2*a*b*c - 8*a*b*c*z
Отсюда следует, чтобы a, b, c были компланарными, нужно чтобы равенство
2*a*b*c - 8*a*b*c*z=0 было верно, значит векторы будут компланарными при Z=1/4.