Оглавление

Занятие 3. Векторная алгебра 3

Задание вектора и обращение к элементам вектора в системе MATLAB. 3

Упражнение 3.1. Ввод векторов 3

Упражнение. 3.2. 3

Упражнение 3.3. Сложение и вычитание векторов. 4

Упражнение 3.4. Поэлементное умножение и поэлементное возведение в степень. 5

Упражнение 3.5. Умножение и деление вектора на число. 6

Упражнение. 3.6. Работа с элементами векторов. 6

Упражнение 3.7. 8

Линейные операции над векторами и их свойства. 8

Упражнение 3.8. Правило треугольника. 8

Упражнение 3.9. Правило параллелограмма. 10

Линейная зависимость векторов 13

Упражнение 3.10 13

Упражнение 3.11 14

Скалярное произведение векторов 15

Скалярное произведение в координатной форме 15

Упражнение 3.12. Вычислить скалярное произведение двух векторов 15

Упражнение 3.13 15

Векторное произведение 17

Выражение векторного произведения через координаты векторов 17

Упражнение 3.14 17

Упражнение 3.15. 18

Упражнение 3.17. 20

Упражнение 3.18. 22

Смешанное произведение 24

Выражение смешанного произведения через координаты векторов 24

Упражнение 3.19. 24

Упражнение 3.20. 25

Упражнение 3.21. 26

Упражнение 3.22. 27

Упражнение 3.23. 27

Занятие 3. Векторная алгебра

Задание вектора и обращение к элементам вектора в системе MATLAB.

Упражнение 3.1. Ввод векторов

>> a = [1.3; 5.4; 6.9]

a =

1.3000

5.4000

6.9000

>> b = [7.1; 3.5; 8.2];

>>

>>

>> s1 = [3 4 9 2]

s1 =

3 4 9 2

>> s2 = [5, 3, 3, 2]

s2 =

5 3 3 2

Упражнение. 3.2.

Из нескольких вектор-столбцов можно составить один, используя квадратные скобки и разделяя исходные вектор-столбцы точкой с запятой:

>> v1 = [1; 2]

v1 =

1

2

>> v2 = [3; 4; 5]

v2 =

3

4

5

>> v = [v1; v2]

v =

1

2

3

4

5

>> v1 = [1 2]

v1 =

1 2

>> v2 = [3 4 5]

v2 =

3 4 5

>> v = [v1 v2]

v =

1 2 3 4 5

Упражнение 3.3. Сложение и вычитание векторов.

>> c=a+b

c =

8.4000

8.9000

15.1000

>> ndims(a)

ans =

2

>> size(a)

ans =

3 1

>> ndims(b)

ans =

2

>> size(b)

ans =

3 1

>> ndims(c)

ans =

2

>> size(c)

ans =

3 1

>> s3=s1+s2

s3 =

8 7 12 4

>> s4=s1-s2

s4 =

-2 1 6 0

Упражнение 3.4. Поэлементное умножение и поэлементное возведение в степень.

>> v1 = [2 -3 4 1]

v1 =

2 -3 4 1

>> v2 = [7 5 -6 9]

v2 =

7 5 -6 9

>> u = v1.*v2

u =

14 -15 -24 9

>> p = v1.^2

p =

4 9 16 1

Упражнение 3.5. Умножение и деление вектора на число.

>> v = [4 6 8 10]

v =

4 6 8 10

>> p = v*2

p =

8 12 16 20

>> p = v/2

p =

2 3 4 5

>> p = 2/v

??? Error using ==> mrdivide

Matrix dimensions must agree.

Упражнение. 3.6. Работа с элементами векторов.

>> v = [1.3 3.6 7.4 8.2 0.9]

v =

1.3000 3.6000 7.4000 8.2000 0.9000

>> v(4)

ans =

8.2000

>> v(2) = 555

v =

1.3000 555.0000 7.4000 8.2000 0.9000

>> u = [v(3); v(2); v(1)]

u =

7.4000

555.0000

1.3000

>> ind = [4 2 5]

ind =

4 2 5

>> w = v(ind)

w =

8.2000 555.0000 0.9000

>> w = [0.1 2.9 3.3 5.1 2.6 7.1 9.8]

w =

Columns 1 through 6

0.1000 2.9000 3.3000 5.1000 2.6000 7.1000

Column 7

9.8000

>> w(2:6) = 0

w =

Columns 1 through 6

0.1000 0 0 0 0 0

Column 7

9.8000

>> w = [0.1 2.9 3.3 5.1 2.6 7.1 9.8]

w =

Columns 1 through 6

0.1000 2.9000 3.3000 5.1000 2.6000 7.1000

Column 7

9.8000

>> wl = w(3:5)

wl =

3.3000 5.1000 2.6000

>> w2=[w(1:3) w(5:7)]

w2 =

0.1000 2.9000 3.3000 2.6000 7.1000 9.8000

>> gm = (u(1)*u(2)*u(3))^(1/3)

gm =

17.4779

Упражнение 3.7.

Создать с помощью специальных символов

вектор-строку и вектор-столбец .

Изменить значение координаты на -5,

значение координаты на сумму первой и второй координаты вектора

>> a=[2,4,6]

a =

2 4 6

>> b=[1,8,-2]'

b =

1

8

-2

>> a(2)=-5

a =

2 -5 6

>> b(3)=b(1)+b(2)

b =

1

8

9

Линейные операции над векторами и их свойства. Упражнение 3.8. Правило треугольника.

Изобразить правило треугольника.

Даны три точки с координатами A(-2 0), B(1 2), C(1 -1).

Убедиться (в тетради), что АВ+ВС=AC, здесь AB, BC и AC –векторы.

Изобразить векторы АВ и ВС синим и АС красным.

>> A=[-2 0];B=[1 2];C=[1 -1]

C =

1 -1

>> grid on, hold on

>> xlabel('X'),ylabel('Y')

>> line([-5 0;5 0], [0 -5;0 5],'Color','black')

>> M1=A;M2=B

M2 =

1 2

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4)

>> plot(M2(1),M2(2),'o','LineWidth',4)

>> M1=B;M2=C

M2 =

1 -1

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4)

>> M1=B;M2=C

M2 =

1 -1

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4)

>> plot(M2(1),M2(2),'or','LineWidth',4)

>> M1=C;M2=A

M2 =

-2 0

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4,'Color','red')

>> text(-2,0.8,'A(-2;0)','Color','blue')

>> text(1.2,1.5,'B(1;2)','Color','blue')

>> text(-0.5,1.8,'{\bfAB}','Color','blue')

>> text(1.2,-1,'C(1;-1)','Color','blue')

>> text(-2,-0.5,'A(-2;0)','Color','red')

>> text(0.8,-1.2,'C(1;-1)','Color','red')

>> text(1.5,0.5,'{\bfBC}','Color','blue')

>> text(-1,-1,'{\bfAC}','Color','red')

>> title('PRAVILO TREUGOLNIKA {\bfAB+BC=AC}')

Упражнение 3.9. Правило параллелограмма.

Изобразить правило параллелограмма. Дан параллелограмм ABCD, известны координаты трех его точек A(-2 0), B(1 2), C(1 -1). Найти координаты четвертой вершины D параллелограмма. Показать на рисунке, что AB+ AD =AC, здесь AB, AD и AC – векторы. Изобразить векторы АВ и AD синим и АС красным, остальные стороны параллелограмма ВС и CD -черным

>> A=[-2 0];B=[1 2];C=[1 -1];

>> grid on, hold on

>> xlabel('X'),ylabel('Y')

>> line([-5 0;5 0], [0 -5;0 5],'Color','black')

>> M1=A;M2=B;

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4)

>> plot(M2(1),M2(2),'o','LineWidth',4)

>> M1=B;M2=C;

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4)

>> plot(M2(1),M2(2),'or','LineWidth',4)

>> M1=C;M2=A;

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4,'Color','red')

>> text(-2,0.8,'A(-2;0)','Color','blue')

>> text(1.2,1.5,'B(1;2)','Color','blue')

>> text(-0.5,1.8,'{\bfAB}','Color','blue')

>> text(1.2,-1,'C(1;-1)','Color','blue')

>> text(-2,-0.5,'A(-2;0)','Color','red')

>> text(1.5,0.5,'{\bfBC}','Color','blue')

>> text(-1,-1,'{\bfAC}','Color','red')

>> title('PRAVILO TREUGOLNIKA {\bfAB+BC=AC}')

>>

>>

>> grid on, hold on

>> xlabel('X'),ylabel('Y')

>> line([-5 0;5 0], [0 -5;0 5],'Color','black')

>> M1=A;M2=B;M3=C

M3 =

1 -1

>> D=[-2 -3];

>> M4=D;

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4)

>> plot(M2(1),M2(2),'or','LineWidth',4)

>> plot(M2(1),M2(2),'ob','LineWidth',4)

>> M1=B;M2=C;

>> M1=B;M2=D;

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4)

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4,'color','w')

>> M1=A;M2=D;

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4)

>> M1=B;M2=C;

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4,'color','b')

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4,'color','black')

>> M1=D;M2=C;

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4,'color','black')

>> M1=A;M2=B;

>> plot(M2(1),M2(2),'ob','LineWidth',4)

>> M1=B;M2=A;

>> plot(M2(1),M2(2),'ob','LineWidth',4)

>> M1=A;M2=D;

>> plot(M2(1),M2(2),'ob','LineWidth',4)

>> M1=B;M2=C;

>> plot(M2(1),M2(2),'ob','LineWidth',4)

>> plot(M2(1),M2(2),'ob','LineWidth',4,'color','black')

>> M1=A;M2=C;

>> plot(M2(1),M2(2),'ob','LineWidth',4,'color','R')

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4,'color','r')

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],'LineWidth',4,'color','r')

>> text(-2,0.8,'A(-2;0)','Color','blue')

>> text(1.2,1.5,'B(1;2)','Color','blue')

>> text(-0.5,1.8,'{\bfAB}','Color','blue')

>> text(1.2,-1,'C(1;-1)','Color','blue')

>> text(-2,-0.5,'A(-2;0)','Color','red')

>> text(-2,-0.5,'A(-2;0)','Color','red')

>> text(-1,-1,'{\bfAC}','Color','red')

>> text(1.2,1.5,'B(1;2)','Color','blue')