П.10.5.4. Порядок расчета

В соответствии с изложенной методикой можно рекомендовать следующий порядок оценки влияния параллакса на точность работы оптического прицела (результат стрельбы).

1) Необходимо знать угловое увеличение телескопической системы Г прицела; фокусное расстояние окуляра f_ок или объектива f_об; диаметр выходного зрачка прицела D; диаметр зрачка глаза D_зг; расстояние между сеткой и изображением мишени x (с учетом знака по рис. П.10.9); угол  между вертикальной плоскостью и плоскостью, в которой смещается глаз в пределах выходного зрачка (рис. П.10.9 и П.10.9,а); удаление глаза от центра выходного зрачка h; дальность до мишени D; начальную скорость движения пули или снаряда V₀; ускорение свободного падения g; ускорение a – оно характеризует cилу, вызывающую деривацию (П.10.3); составляющую ₁ общей случайной погрешности стрельбы ₀, не зависящую от прицела (задается в виде своих составляющих по осям _1y и _1z для вертикальной мишени и _1x, _1y – для горизонтальной, рис. П.10.7, они характеризуют рассеивание точек попадания в мишень относительно срединной траектории; размеры мишени (R – для круга; R₁, R₂ – для кольца; АВ – для прямоугольной мишени со сторонами, параллельными главным осям рассеивания).

2) Определяется наибольшее возможное удаление h_max зрачка глаза от центра выходного зрачка прицела по (П.10.31).

3) Вычисляется угловой параллакс за окуляром _ок из (П.10.32) или (П.10.46) для h и h_max..

4) Находится угловой параллакс за объективом _об по (П.10.45) или (П.10.46).

5)Определяются углы прицеливания  и  из (П.10.17) и (П.10.18), соответственно.

6) Вычисляются погрешности  и  ввода этих углов в прицеле из-за параллакса по (П.10.27).

7) Находятся изменения дальности стрельбы D_ и D_ из-за погрешности ввода углов прицеливания в соответствии с (П.10.19) и (П.10.21).

8) Вычисляются координаты точки пересечения С (t, u) срединной траектории с вертикальной мишенью в плоскости ZOY (рис. П.10.7,а, б) по (П.10.21) и (П.10.20).

9) Если мишень горизонтальная (для артиллерийской стрельбы) аналогичные координаты точки пересечения G (s, p) с ней в плоскости XOY (рис. П.10.7,а, в) находятся по (П.10.23).

10) Определяется удаление d_в центра рассеивания C(t, u) от центра вертикальной мишени в плоскости Z0Y (рис. П10.7, б)

(П10.49)

11) Для горизонтальной мишени аналогично пункту 10 удаление d_г центра рассеивания G(s, p) от центра мишени в плоскости Х0Y (рис. П10.7, в) будет

(П10.50)

12) Вероятность попадания в плоскую область S, ограниченную мишенью, при выстреле может быть найдена по общей формуле

(П10.51)

где f (x,y) – двумерная функция плотности вероятности координат точек попадания в мишень (характеризует их рассеивание относительно центра мишени, п.5.9.2; п.5.9.3; п.П10.1). В предположении её нормальности и выполнении условия в (5.9.3.2) о соотношении составляющих _1y, и _1z для вертикальной мишени и _1x,, _1y – для горизонтальной осуществляется переход к радиальному (круговому) СКО _1к исходного двумерного нормального распределения, например, .

13) Центр О кругового рассеивания с СКО  = _1к из-за погрешности прицела смещен от центра О₁ мишени на величину d = d_в – для вертикальной мишени, d = d_г – для горизонтальной (пункты 10 и 11, рис. П.10.12,а).

Если мишень выполнена в виде круга радиуса R, при вычислении вероятности попадания в нее по (П.10.51) двойной интеграл преобразуется в однократный, являющийся функцией от двух параметров h₀ = d и r = R.

(П10.52)

где функция ₀ определяется равенством (5.9.2.6).

Значения вероятности W (r, h₀) можно получить численными методами или по таблице приложения 11 (в таблице h₀ обозначена как h).

Замечание. Центру рассеивания О (на рис. П.10.12) соответствует точка G (s, p) (на рис.П.10.7) пересечения срединной траектории с горизонтальной мишенью и точка С (t, u) – с вертикальной. Точке О₁ соответствует на рис. П.10.7 центр мишени M в обоих случаях.

Рис. П10.12 Влияние погрешности прицела на смещение центра рассеивания относительно центра круглой мишени (а) и прямоугольной мишени (б) со сторонами, параллельными главным осям рассеивания

Вероятность попадания в кольцевую мишень равна разности вероятностей попадания в круговые мишени большего и меньшего радиусов (r₁ = R₁₁; r₂ = R₂₁ в П.10.52).

14) Если мишень прямоугольная размером АВ, то переход к круговому распределению можно не делать даже при выполнении условий для СКО по осям

в (5.9.3.2). Достаточно воспользоваться свойством некоррелированности и независимости координат точек попадания в мишень для нормального распределения их по обеим осям.

В соответствии с этими замечаниями для определения вероятности попадания в такую мишень с учетом погрешности прицела можно применить известную из курса ТВ и математической статистики формулу

, (П.10.53)

где в левой части – вероятность попадания значений СВ X в интервал от  до ;

m – математическое ожидание СВ X;  = СКО. Применяя эту формулу дважды

(для каждой из координат в плоскости мишени), получаем вероятность попадания

в прямоугольную мишень.

, П.10.54)

где m_x = s, m_y = p, _x = _1x, _y = _1y для горизонтальной мишени;

m_x = t, m_y = u, _x = _1y, _y = _1z – для вертикальной.

При вычислении может быть использована таблица Приложения 1.

15) Определяется вероятность попадания в мишень W₀ или U₀ для "идеально точного" прицела, изготовленного без погрешностей. (В данном случае это означает, что _об = 0 и, следовательно,  =  =0 и d_в = d_г = 0. Центр рассеивания совпадает с центром мишени (рис. П10.12)). Вычисления проводятся по формулам (П10.52) при d =0 или (П10.54) при t = u = s = p = 0.

Для кругового радиального рассеивания и круглой или кольцевой мишени могут быть также использованы формулы распределения Рэлея, как это сделано в п.5.9.3, формулы (5.9.3.3) и (5.9.3.4), пример 2.

16) Находится степень влияния погрешности прицела _об на результат стрельбы (уменьшение в % вероятности попадания в мишень).

[(W₀ - W)  W₀]100 = _к или [(U₀ – U)  U₀] 100 = _п

Делается заключение о допустимости погрешности прицела по критерию из п.П.10.1 в предположении об отсутствии или устранении систематических погрешностей стрельбы (здесь d = _{m, np}, см. формулу П10.3).

17) На практике часто встречается задача, которая дает наглядное представление о важности учета влияния погрешностей прицела на результат стрельбы.

Найдем расход боеприпасов для обеспечения поражения мишени с заданной вероятностью Р_пз для реального и "идеально точного" прицелов.

Если в мишень попадает m пуль, то пусть с вероятностью Р_пз она может считаться пораженной. Большее число попаданий также выводит ее из строя. Чтобы в мишень попало m пуль (минимальное количество, необходимое для ее поражения), надо произвести, как правило, большее количество выстрелов, потому что не все они достигают цели. Очевидно, что увеличение расхода боеприпасов тем больше, чем больше погрешности прицела.

При этих условиях можно воспользоваться биноминальным законом распределения. В данном случае он определяет вероятность того, что в серии из n выстрелов в мишень попало ровно k пуль:

P^k_n = C^k_n  p^k  q^n-k ; где C^k_n = n  k(n – k) , (П10.56)

P^k_n - вероятность ровно k попаданий в серии из n выстрелов, p – вероятность попадания при одном выстреле ( p = W или p = U, см. пункты 13,14 и формулы П10.52 и П10.54), q = 1-p – вероятность промаха при одном выстреле.

Обозначим событие П_м – поражение мишени, а П_м - не поражение. Пусть заданы значения m и Р_пз. Тогда событиюП_м (не поражению мишени) благоприятствуют следующие исходы стрельбы: С₀ – ноль попаданий, С₁ – одно попадание,…, С_m-1 - (m-1) попадание. Все остальные благоприятствуют поражению мишени П_м. Удобнее часто вычислять вероятность события П_м (при небольшом значении m). Она будет равна:

. (П10.57)

Тогда искомая вероятность поражения мишени:

, (П10.58)

и она должна быть не меньше заданной P_пз:

P(П_м)  P_nз.. (П10.59)

Расчет по формуле (П10.56) при p=W или p=U начинается с n=m (при меньшем количестве выстрелов не обеспечить m попаданий). Вычисляются P⁰_m, P¹_m, …, P ^m-1_m и определяются P(П_м) по (П10.57) и P(П_м) по (П10.58). Если условие (П10.59) не выполняется, n (число выстрелов) увеличивается на 1 до n = m+1 и цикл вычислений по (П10.56) повторяется, т.е. находятся P⁰_m+1, P¹_m+1,…, P^m-1_m+1 с последующей проверкой условия (П10.59). При его выполнении цикл вычислений заканчивается и число выстрелов (n) считается определенным.

Аналогичный расчет проводится для p = W₀ или p = U₀, т.е. для «идеально точного прицела». В результате определяется количество выстрелов n₀, необходимое тоже для поражения мишени с тем же критерием (для заданных m и P_пз).

Вероятности попадания p в (П10.56) при одном выстреле различны для реального прицела (0, 0) и «идеального» (0, 0), поэтому найденные значения n и n₀ в общем случае могут быть не равны. Эта разность (n-n₀), умноженная на стоимость одного выстрела S_в, дает «цену» погрешности, допущенную при изготовлении прицела:

H = (n-n₀)S_в . (П10.60)

При повторении серий выстрелов растет и стоимость погрешности.

Подобным же образом может быть рассчитано влияние других погрешностей прицелов на результат стрельбы и проведено сравнение их результатов. Выявив наиболее опасные погрешности, можно так распределить общий допуск на ввод углов прицеливания, чтобы большая его часть приходилась именно на них. Есть и другие методы расчета допусков. Более подробно эти вопросы изложены в разделе «Основы теории точности» курса "Проектирование оптико-электронных приборов".

Для артиллерийской стрельбы часто используют перископические прицелы типа панорамы (ПГ). Визирная ось их, как и у угломерных приборов, в пространстве предметов при установке или измерении вертикальных углов должна перемещаться по дуге меридиана, а при установке горизонтальных углов – по дуге широтного круга.

Вследствие погрешностей изготовления, сборки, юстировки и установки прибора на местности происходит отступление траектории визирной оси от указанных выше. Это приводит к погрешностям установки или измерения углов, что, как показано для прицелов, например, уменьшает вероятность попадания в мишень. Чтобы уменьшить это влияние, были проведены исследования влияния на точность приборов наклона вертикальной оси, коллимационной погрешности, наклона оси качания головного зеркала (или призмы) относительно горизонтальной плоскости (наклона оси цапф), разворота оси качания вокруг вертикальной оси (рис. П10.13, табл. П10.1) и другие исследования.

Рис. П10.13. Схема перископического визира с качающимся головным зеркалом

а) 1 – качающееся головное зеркало, 2 – неподвижное зеркало, 3 – объектив, 4 –сетка, 5 – окуляр. б) Коллимационная погрешность K – неперпендикулярность нормали отражающей поверхности зеркала к оси качания. в) Наклон оси качания _y (наклон оси цапф) относительно горизонтальной плоскости (поворот вокруг оси Y). г) Разворот оси качания _z вокруг вертикальной оси Z.

Таблица П10.1. Погрешности перископического визира

Погрешности визирования и измерения
Горизонтальных углов		Вертикальных углов
от погрешности K	K = 2cosK		iK = 2cos2K2
от погрешности y	 y = 2cos2y		i y = 2cos22y
от погрешности z	 z = sin2z		i z = 0

В рассматриваемом случае погрешность ввода угла прицеливания в вертикальной плоскости  = i, в горизонтальной -  = . Как видно из таблицы, погрешности K, _y, _z дают существенно большую ошибку при установке и измерении горизонтальных углов.