1.15.2.2. Специальный алгоритм поиска допустимого решения т-задачи

(метод минимального элемента)

Ниже будет рассмотрен специальный алгоритм, имеющий эвристический характер, эффективно использующий приведенные выше свойства и совершенно отличающийся от применяемого выше метода минимизации невязок (эвристика – это правило, основанное на опыте человека, его рассуждениях, не имеющих четкого математического обоснования). Забегая вперед, необходимо сказать, что этот алгоритм ориентирован на последующее применение специального алгоритма поиска оптимального решения, реализующего все основные этапы симплекс метода. Поэтому выходом алгоритма является не только само допустимое решение, определяемое матрицей перевозок, но и соответствующий ему базис, а точнее – базисное множество, размерность которого определяется свойством 7, а признак базисности – свойством 8.

В рассматриваемом алгоритме применяется следующая система правил:

1. Заполнение матрицы перевозок производится последовательно, в соответствии с первоначально сформированным, а затем с корректируемым массивом упорядоченных пар (MUP). MUP – это массив, в котором все пары , выстраиваются в определенную последовательность по возрастанию коэффициентов целевой функции . При этом в первую очередь будут формироваться перевозки, соответствующие меньшим значениям указанных коэффициентов. Отсюда и название рассматриваемого метода: «Метод минимального элемента».

Здесь необходимо сказать, что MUP может быть сформирован и по более простому правилу (по естественному расположению пар индексов в матрице перевозок). Метод, реализующий такое правило, называется «методом северо-западного угла», т.к. матрица начинает заполняться с верхнего левого угла. Это не повлияет на остальную логику алгоритма, но существенно, как показали исследования, влияет на эффективность формируемого базисного решения. Под эффективностью начального допустимого базисного решения здесь понимается его близость к оптимальному решению по числу дальнейших итераций алгоритма поиска оптимального решения.

Как правило (за исключением отдельных частных случаев исходных данных), время, затрачиваемое на формирование MUP по методу минимального элемента, существенно окупается дальнейшей его экономией на этапе поиска оптимального решения.

2. При работе алгоритма используются первоначально определяемые, а затем итеративно изменяемые массивы:

– определяет количество не вывезенной продукции из i-го ПХ (первоначально , );

; – определяет величину неудовлетворенного спроса на продукцию в j-ом ПП (первоначально , ).

После определения очередной перевозки элементы и корректируются:

(1.155)

3. Очередная определяемая перевозка формируется в соответствии со следующим соотношением:

(1.156)

Это правило фактически определяет максимально возможную перевозку из i-го пункта производства в j-ый пункт потребления на данный момент работы алгоритма. Соответствующая пара (i, j) заносится в параллельно формируемое начальное базисное множество и удаляется (вычеркивается) из MUP.

. (1.157)

Реализация этого правила обеспечивает то, что число пар (i,j) , введенных в множество на первом, основном этапе работы алгоритма формирования допустимого решения, не превысит требуемой размерности базиса (m+n-1), а в методе минимального элемента дополнительно обеспечивает большую эффективность базисного решения.

4. После использования предыдущих двух правил на очередной итерации алгоритма могут реализоваться следующие случаи: либо , либо , либо и то и другое произойдет вместе. Тогда следующим естественным образом можно доопределить элементы матрицы перевозок:

– если , то все незаполненные к данному моменту элементы в матрице перевозок в i-ой строке обнуляются, и соответствующие пары удаляются из MUP;

– если , то все незаполненные к данному моменту элементы в матрице перевозок в j-ой строке обнуляются, и соответствующие пары удаляются из MUP;

– если одновременно , то оба предыдущих пункта выполняются вместе.

Фактически, эти правила и правило 2 используют свойство 3 Т-задачи.

5. После формирования допустимого решения необходимо проверить размерность базиса. Она может оказаться меньше необходимой размерности m+n-1. Это будет означать, что формируемое базисное решение будет вырожденным. В этом случае базисное множество необходимо искусственно дополнить парами (i,j), для которых . При выборе таких пар необходимо обеспечить, чтобы вводимая пара не образовывала цепочки с ранее введенными в базисное множество парами (см. свойство 8 Т-задачи).

Алгоритм формирования допустимого базисного решения Т-задачи.

Шаг 1. ; Æ; матрица не определена

Шаг 2. Сформировать MUP.

Шаг 3. Выбрать из MUP первую не вычеркнутую пару (i_M, j_M).

Шаг 4.

Шаг 5.

Шаг 6. Если , то все незаполненные ,( ).

Шаг 7. Если , то все незаполненные ,( ).

Шаг 8. Из массива MUP удалить все пары (i, j), для которых на данной итерации алгоритма (шаги 3÷7) определены x[i, j].

Шаг 9. Если MUP еще не пуст, то переход на шаг 3.

Шаг 10. Если , то базисное множество необходимо дополнить до нужной размерности парами (i,j), для которых x[i, j]=0 и которые не образуют цепочки с ранее введенными в базис парами (в том числе, и с теми парами, которые вводятся в базис в данном пункте).