3. Елементи релятивістської механіки

3.1. Принцип відносності Ейнштейна

Класична механіка створена на основі принципу відносності Галілея та законах Ньютона. В її теорії простір та час приймаються незалежними. Установлено, що незалежність простору й часу прийнятна до тої межі, коли рух тіла відбувається із швидкостями значно меншими, ніж швидкість світла у вакуумі с=3·10⁸ м/с. У класичній теорії додавання швидкостей проводиться у відповідності з правилом додавання векторів. Однак дослід, проведений Майкельсоном та Морлі в 188187 р показав, що швидкість світла в рухомій та нерухомій системах відліку однакова, і класичне додавання швидкостей, при рухові тіл із швидкістю близькою до швидкості світла, не виконується.

В 1905 р. Ейнштейном для вивчення рівномірного прямолінійного руху тіл із швидкостями, близькими до швидкості світла у вакуумі, була створена спеціальна теорія відносності, або релятивістська механіка. В основі цієї теорії лежить спеціальний принцип відносності Ейнштейна з двома постулатами:

 усі закони фізики - однакові в усіх інерційних системах відліку, а при переході від одної до іншої систем відліку, рівняння, що їх виражають, не змінюють свого вигляду,

 в інерційних системах відліку максимальна швидкість передачі взаємодії є універсальною сталою і дорівнює швидкості розповсюдження світла у вакуумі.

Перший постулат є узагальненням принципу відносності Галілея на всі без виключення фізичні явища, а другий постулат показує, що час протікає по-різному в різних інерційних системах, а тому одночасові події в одній інерційній системі відліку будуть не одночасовими в іншій інерційній системі відліку.

Перетворення координат і часу при переході з нерухомої у рухому систему відліку і навпаки в релятивістській механіці відбувається за допомогою перетворень Лоренця. При переході до малих швидкостей перетворення координат і часу Лоренця переходять у перетворення Галілея.

3.2. Перетворення Лоренця для координат

Розглянемо дві інерційні системи відліку, одна з яких K' рухається відносно іншої K із швидкістю (V=const і V  c) паралельно осі ОХ. Якщо покласти, що перетворення координат, подібно до перетворень Галілея, лінійне, то потрібно, щоб при прямому перетворенні було:

x = (x' + Vt'), (1)

а зворотному:

x' = (x - Vt). (2)

Інші координати повинні співпадати:

y = y', z = z'.

Використовуючи постійність швидкості світла та рівняння (1) і (2), знайдемо величину та рівняння перетворення часу.

Нехай початки відліку систем K та K' у момент часу посилання світлового сигналу співпадають. Згідно другого постулату, шлях, що пройде сигнал у системі К буде x=ct, а в системі K'  x'=ct'. Підставимо ці значення в рівняння перетворення координат:

сt=(ct' + Vt'), (3)

сt'=(ct - Vt). (4)

Перемноживши ліві та праві частини (3) та (4), після скорочення, одержимо:

² = = , де  = ,  = > 1. (5)

Для встановлення зв'язку між t та t' підставимо в x'= (x - Vt) значення для x: x' =  [(x' + Vt') - Vt]. Проведемо послідовні розрахунки

x' =  [(x' + Vt') - Vt] = ²x' + ²Vt' - Vt,

Vt=(² - 1)x' + ²Vt' = ²(V²/c²)x' + ²Vt',

. (6)

В (6) ми врахували, що

.

Подібно можна одержати зворотне перетворення

t' = (t - Vx/c²). (7)

Як видно з одержаних виразів, час у різних інерційних системах протікає по різному, тому твердження про проміжок часу між двома подіями має сенс тільки при посиланні на певну інерційну систему відліку.

Запишемо одержані вирази для прямих та зворотних перетворень у вигляді таблиці:

Прямі перетворення	Зворотні перетворення
x = (x' + Vt')	x' = (x - Vt)
y = y',	y' = y
z = z'	z' = z
t = (t' + )	t' = (t - )

Якщо V << c, то =1 і t=t' і перетворення Лоренця перейдуть у перетворення Галілея і ми перейдимо до класичної механіки.