2 Математичний опис досліджуваної системи

2.1 Класифікація моделей

У плануванні експерименту для ефективного аналізу механізму процесів та управління ними необхідно виявити взаємозв'язок між факторами, що визначають хід процесу, та представити їх в кількісній формі - у вигляді математичної моделі.

Математична модель - це система математичних залежностей, алгоритмів, програм, графіків, таблиць тощо, що відображає суттєві властивості об'єкта дослідження. Така модель є математичним відображенням найбільш істотних сторін процесу та являє собою сукупність співвідношень – формул, рівнянь, нерівностей, логічних умов та визначальних характеристик стану об'єкта в залежності від параметрів об'єкту, умов та часу.

Об’єкт дослідження — це будь-яке поняття (предмет, система, процес, явище, особа, абстракція), про яке можуть бути одержані відомості і яке підлягає дослідженню чи спостереженню. Тому будь-який предмет, який розглядається з метою його використання за призначенням, вивчення, дослідження, випробування або керування, може вважатися об'єктом дослідження. Отже, об'єкт дослідження є оригі­налом математичної моделі, оскільки вона відображає з певним ступенем наближення його найістотніші властивості. Будь-яка модель, проста чи складна — адекватна оригіналові; вона є показником його якості.

Теорія планування експерименту ідентифікує, тобто максимально ототожнює об'єкт дослідження (систему, процес, явище) з математичною моделлю. Модель дозволяє отримати інформацію про процеси, що протікають в об'єкті; розрахувати характеристики об'єкта, тобто аналізувати та проектувати їх; отримати інформацію, яку можна використати для управління об'єктом, що моделюється.

З точки зору кібернетики кожна модель є наближеною та звичайно не є точним описом об'єкта досліджень. Тому оптимальне рішення, що знайдене за допомогою моделі, розглядають лише як апроксимацію оптимального рішення реальної задачі.

Використання моделей в дослідницькій роботі сприяє прискоренню науково-технічного прогресу в тих областях науки та техніки, які пов'язані, з необхідністю вивчення складних, погано організованих систем, що важко піддаються точному математичному опису.

При усій багатогранності класифікаційних ознак математичних моделей з метрологічного погляду класифікація моделей може бути подана у вигляді схеми [ ], що наведена на рис.2.1.

Рис. 2.1 Класифікація математичних моделей за метрологічними ознаками.

У залежності від джерела інформації, що використовується при побудові математичної моделі, моделі поділяють на:

• фізичні (аналітичні або теоретичні)

• статистичні (емпіричні).

Фізичні (аналітичні) моделі – це опис об’єкту складною системою рівнянь (алгебраїчних, диференціальних, інтегральних або диференціально-інтегральних), які дозволяють:

• дуже точно описати процеси, що протікають в об'єкті;

• провести екстраполяцію в точках факторного простору, в яких неможливе безпосереднє спостереження цих процесів.

Статистичні моделі отримують внаслідок статистичної обробки експериментальної інформації про об'єкт дослідження. Такі моделі мають відносно просту структуру (подаються у вигляді поліномів) та вимагають для побудови порівняно порівняно невеликих витратах часу та коштів. Область їх застосування обмежується сукупністю робочих точок, в яких проводяться експерименти.

Прийнято також розрізняти статичні та динамічні моделі, які можуть відноситися як до статистичного, так і до фізичного типу.

Статичні моделі описують характеристики об'єкту дослідження, що не змінюються у часі.

Динамічні моделі описують перехідні процеси, тобто нестаціонарні стани.

Наприклад: Процес вирівнювання температури контактуючих деталей з'єднаннь з натягом внаслідок теплообміну.

При діагностиці складних систем використовують діагностичні та верифікаційні моделі. За допомогою діагностичних математичних моделей досліджують об'єкти за часовою ознакою. До них належать:

• інтерполяційні моделі– передбачають поведінку всередині досліджуваного об’єкту;

• екстраполяційні моделі – відображують чи прогнозують поведінку поза об’єктом або системою.

Верифікаційними математичними моделями вважають такі моделі, які придатні для операцій перевірки об’єкту (чи засобу вимірювання), зокрема:

• інтерпретаційні – на відповідність досліджуваному об’єкту;

• еврістичні – на придатність висунення нових гіпотез про нові досконаліші математичні моделі.