3.2. Математическая модель (мм)

В общем виде ММ системы ТП – АСУТП представляет собой зависимость вида

Y(t + ∆t) = A{u(t) + By(t); F[ξ(τ), η(τ)]}, (3.1)

где y = {y1, y2, ..., yn} – выходная переменная;

∆t – время от начала цикла действия АСУТП до получения контрольной информации о результатах этого действия;

A – оператор действия АСУТП в целом;

U (t) = {u1(t), u2(t) ,..., un(t)} – входные контролируемые воздействия;

B, F – соответственно операторы управляющих и неуправляющих воздействий;

ξ(τ) = {ξ1(τ), ξ2(τ), ..., ξn(τ)} – контролируемые, но неуправляемые воздействия (например, измеряемые параметры исходных материалов);

η(τ) = {η1(τ), η2(τ), ..., ηn(τ)} – неконтролируемые воздействия.

В выражении (3.1) интервалы изменения временных параметров t и τ

t0 ≤ t ≤ t0 + Τ; t ≤ τ ≤ t + ∆t,

где t0– начало отсчета времени;

T – длительность интервала наблюдения за поведением процесса.

В начальный момент времени y(t0)=0, т.е. результат действия системы уравнения равен нулю. Следовательно, y(t) для АСУТП есть кусочно-гладкая монотонная неубывающая функция, поскольку отрицательное значение выпуска продукции не имеет смысла. За t в функции y(t) можно принять любой момент времени.

С учетом ограниченных ресурсов СУ и процесса вид ММ в первую очередь зависит от соотношения между временем реализации управляющего воздействия и длительности цикла ТП. В общем случае время запаздывания управляющего воздействия относительно изменения состояния ТП.

τ зак=n*τ пр (1.2)

где n- некоторая константа, 0<n<∞;

τ пр- время, прошедшее от изменения состояния входных параметров процесса до изменения выходных параметров (время процесса).

Для АСУТП с управляющими ЭВМ всегда n>0; если 0<n≤1, то возможно синхронное управление в реальном времени. В этом случае

τ зак= τ вв+ τ об+ τ вык+ τ зап≤ τ пр, (1.3)

где τ вв, об- соответственно время ввода и обработки информации о процессе в ЭВМ;

τ вык- время отработки управляющего воздействия;

τ зап- время «чистого» запаздывания, т.е. время от начало действия новых управляющих воздействий Вy(t) до получения контрольной информации о новом значении выходной переменной.

При n > 1 можно не управлять не текущим, а только последующим состоянием стационарных процессов. В этом случае управляющая ЭВМ реализует циклический алгоритм управления в масштабе времени кратном реальному (n = 1, 2, 3,..). Предельный случай n → ∞ имеет ясный физический смысл; он способствует состоянию системы управления без обратной связи.

Весьма часто при проектировании АСУТП, реализующей синхронный алгоритм управления, приходится учитывать, что существующие в процессе неуправляемые воздействия ξ(τ) и ς(τ) могут быть определены и учтены не в текущем, а в последующем состоянии процесса (например, после статистической обработки результатов управления процессом).

Поскольку ς(τ) – вектор случайных воздействий, характер которых в общем случае неизвестен, выражение (1.1) принимает вид:

M_y (t + Δt) = MA {u(t) + B[M_y(t)], ξ(τ)}, (1.4)

где М – символ математического ожидания.

В этом случае целесообразно говорить о «синхронно-циклическом» алгоритме управления.

Приведённый общий анализ алгоритма работы системы ТП–АСУТП можно распространить на процессы как непрерывные, полунепрерывные, так и на дискретные с учётом иерархичности производства.