§ 5. Экстремумы функции двух переменных
1. Основные определения
Определение 1. Точка М(x0; у0) называется точкой максимума (минимума) функции z = f(x; y), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек (x; y) из этой окрестности выполняется неравенство:
f(x0;
y0)
f(x; y),
.
Теорема 1
(необходимое
условие существования экстремума).
Если дифференцируемая функция z =
f(x; y) достигает экстремума в точке М(x0;
y0),
то ее частные производные первого
порядка в этой точке равны нулю, т.е.
;
Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными или критическими точками.
Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума)
Пусть функция z = f(x; y):
а) определена в
некоторой окрестности точки (x0;
y0),
в которой
и
;
б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка
;
Тогда, если = АС B2 > 0, то в точке (x0; y0) функция z = f(x; y) имеет экстремум, причем, если А < 0 (или С < 0) – максимум, если А > 0 (или С > 0) – минимум. В случае = АС В2 < 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если = AC B2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).
Пример 1. Найти экстремум функции z = x2 + xy + y2 3x 6y.
Решение. Найдем частные производные первого порядка:
Воспользуемся необходимым условием существования экстремума:
Решая систему уравнений, находим координаты x и y стационарных точек: x = 0; y = 3, т. е. М(0; 3).
Вычислим частные производные второго порядка и найдем их значения в точке М.
А
=
= 2; С =
= 2;
В
=
.
Составим дискриминант = АС В2 = 2 2 1 > 0, A = 2 > 0. Следовательно, в точке М(0; 3) заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке zmin = 9.
Найти экстремумы функций
322. z = x2 + y2 + xy 4x 5y 323. z = y3 x3 3xy
324.
z = x2
2xy + 4y3
325.
z =
y2
x + 6y
326. z = x y (1 x y) 327. z = 2xy 4x 2y
328. z = ex/2(x + y2) 329. z = x3 + 8y3 6xy + 1
330. z = 3x2y x3 y4 331. z = 3x + 6y x2 xy + y2
2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, надо:
1) найти критические точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;
2) найти критические точки на границе области и вычислить наибольшее и наименьшее значения функций в них;
3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример
2.
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции z =
в круге x2
+ y2
1.
Решение. Найдем координаты критических точек, расположенных внутри рассматриваемой области, для чего вычислим частные производные первого порядка функции z и приравняем их к нулю.
откуда x = 0, y = 0 и, следовательно, М(0; 0) – критическая точка.
Вычислим значение функции z в точке М(0; 0): z(0; 0) = 2.
Найдем критические точки на границе области окружности, заданной уравнением x2 + y2 = 1. Подставляя у2 = 1 x2 в функцию z = z(x; y), получим функцию одной переменной
z
=
;
причем x[1; 1].
Вычислив
производную
и приравняв ее нулю, получим критические
точки на границе области x1
=
0, x2
=
,
x3
=
Найдем
значение функции z(x) =
в критических точках и на концах отрезка
[1;
1]: z(0) =
;
=
;
;
z(1)
=
;
z(1) =
Выберем наибольшее и наименьшее среди значений функции z в критических точках, расположенных внутри и на границе круга.
Итак, zнаиб. = z(0; 0) = 2
и
zнаим.
=
z