4. Задачи на наименьшее и наибольшее значения
Пример 4. Решеткой длиной 120 м нужно огородить прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры площадки.
Решение.
Периметр Р прямоугольной площадки равен
120 м. Обозначим длину одной стороны
прямоугольника x, тогда длина другой
стороны y=
.
При этом справедливы неравенства
0
x
120, 0
y
120. Обозначив площадь прямоугольной
площадки S, получим для нее выражение
S(x) = x
у = x
(60
x) = 60x
x2.
Исследуем функцию S(x) на максимум и минимум с помощью второй производной.
(x)
=
.
;
60
2x = 0
x = 30.
=
2
< 0.
Вторая производная отрицательна, следовательно, функция S(x) имеет максимум при x = 30. Длина другой стороны прямоугольной площадки у = 60 x = 60 30 = 30.
Таким образом наибольшую площадь S = 30 30 = 900 (м2) при заданном периметре имеет квадрат со стороной 30 метров.
224. Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.
225. Какое положительное число, будучи сложенным с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?
226. Окно имеет форму прямоугольника, периметр которого равен 8 м. Каковы размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?
227. Сумма двух положительных чисел равна а. Каковы эти числа, если сумма их кубов является наименьшей?
228. Произведение двух положительных чисел равно а. Чему равны эти числа, если их сумма является наименьшей?
229. Каким должен быть прямоугольник наибольшей площади, который можно согнуть из куска проволоки 50 см?
230. Из всех прямоугольников данного периметра Р найдите тот, у которого диагональ наименьшая.
231. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
232. Разрежьте отрезок длиной 18 см на две части так, чтобы взяв их за катеты, получить прямоугольный треугольник с наименьшей гипотенузой.
233. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением S = t3 + 3t2 + 9t + 3. Найдите максимальную скорость движения тела.
5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции
Определение 3. График функции y = f(x), где x(a; b) называется выпуклым (вогнутым), если он расположен ниже (выше) любой касательной к графику функции на (а; b)*.
Теорема
6. Если
функция у = f(x) дважды дифференцируема
на интервале (a; b), причем
>0
(
)
в каждой точке (a; b), то график функции
выпуклый (вогнутый).
Исследовать
на выпуклость (вогнутость) график функции
y = f(x) означает найти те интервалы из
области ее определения, в которых вторая
производная
сохраняет
свой знак.
Определение 4. Точка (x0; f(x0)) графика функции y = f(x) называется точкой перегиба, если при переходе через x0 график функции меняет выпуклость на вогнутость или наоборот.
Теорема
7 (необходимое
условие существования точки перегиба).
Если функция y = f(x) дважды дифференцируема
на интервале (а; b) и точка (x0;
f(x0)),
где x0(a;
b), является точкой перегиба графика
функции f(x), то
.
Теорема 8 (достаточное условие существования точки перегиба). Если функция у = f(x) дважды дифференцируема на интервале (a; b) и при переходе через x0(a; b) вторая производная меняет знак, то точка графика функции y = f(x) c абсциссой x = x0 является точкой перегиба.
Определение 5. Точки, в которых вторая производная функции y = f(x) равна нулю или не существует, называются критическими точками второго рода.
Пример 5. Исследовать на выпуклость-вогнутость и найти точки перегиба графика функции f(x) = x4 6x3 + 12x2 10.
Решение.
Функция определена на всей числовой
прямой. Вычислим производные
4x3
18x2
+ 24x и
12x2
36x + 24. Решив уравнение
,
найдем критические точки второго рода:
x=1, x=2.
Расставим
критические точки в области определения
функции и определим знак второй
производной
в промежутках, на которые критические
точки делят область определения функции.
+
+
1 2 х
,
.
На
интервалах (;
1) и (2; )
вторая производная положительна и
согласно Теореме
1 график
функции на них вогнутый. При x(1;
2)
отрицательна и, следовательно, график
функции здесь выпуклый.
В точках x=1 и x=2 вторая производная меняет знак, следовательно, согласно Теореме 3 эти точки являются точками перегиба графика функции.
Вычислим ординату точек перегиба.
f(x = 1) = 14 6 13 + 12 12 10 = 3.
f(x = 2) = 24 6 23 + 12 22 10 = 6.
Итак, координаты точек перегиба (1; 3) и (2; 6).
Исследовать на выпуклость-вогнутость и найти
точки перегиба графика функций:
234. f(x) = x3 10x + 1 235. f(x) = x + 36x2 2x3 x4
236.
f(x) = (x
1)4
(3x + 7) 237. f(x) =
238.
f(x) =
239. f(x) =
240.
f(x) = x +
241. f(x) = x ex
242. f(x) = e2x 4ex + 2 243. f(x) = x2 ln x
244.
f(x) = ln x +
245. f(x) =
6. Асимптоты графика функции
Определение 6. Асимптотой к кривой у = f(x) называется прямая линия, к которой сколь угодно близко приближаются точки графика функции при неограниченном удалении от начала координат.
Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Прямая
х = b является вертикальной
асимптотой
графика
функции y = f(x), если хотя бы один из
пределов
или
равен +
или .
Для определения вертикальных асимптот надо отыскать те значения х, вблизи которых функция f(x) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода данной функции.
Прямая
y = a является горизонтальной
асимптотой
графика функции у = f(x) при x
+
(x
),
если
=
а.
Прямая
y = kx + b является наклонной
асимптотой
графика функции y = f(x) при x
+
(x
),
если
,
откуда
k =
,
b =
Пример
6.
Найти асимптоты кривой f(x) =
Решение. Точка x = 1 – точка разрыва второго рода данной функции. Найдем левый и правый пределы функции в этой точке.
;
.
Следовательно прямая x = 1 вертикальная асимптота. Найдем наклонную асимптоту y = kx + b. Для этого определим угловой коэффициент k и начальную ординату b, вычислив соответствующие пределы.
k
=
;
b
=
.
Итак, k = 1, b = 1; следовательно при x + и при x график функции имеет наклонную асимптоту y = x + 1.
Найти асимптоты кривых
246.
f(x) =
247. f(x) =
248.
f(x) =
249. f(x) =
250.
f(x) = x + ex
251. f(x) =
252.
f(x) =
253. f(x) =
254.
f(x) =
255. f(x) =
256.
f(x) =
257. f(x) =
258. f(x) = xe1/x 259. f(x) = x 2 arctg x