Jlaбораторна робота № 1
Тема: «Введення у фізичний практикум:
Елементи тeopiї похибок»
Мета: Ознайомитись з основними методами вимірювання фізичних величин та правилами обробки результатів експериментальних досліджень, ознайомлення з поняттями «абсолютна похибка», «відносна похибка», «середньоквадратична похибка», «ціна поділки», «системні та позасистемні одиниці фізичних величин» тощо.
Прилади та устаткування: Прилади для визначення часу, маси, довжини, частоти обертання, сили струму, напруги, , магнітного потоку, освітленості тощо.
Теоретичні відомості
Вимірювання фізичної величини полягає в порівнянні її з однорідною їй фізичною величиною, прийнятою за одиницю. Результат вимірів фізичної величини А представляють у вигляді A={А}[А] де {А} – числове значення А, [А] – одиниця вимірювання цієї величини.
Розрізняють два типи вимірювань фізичних величин: прямі та непрямі.
При прямому вимірюванні значення фізичної величини визначається безпосередньо за допомогою приладу, що вимірює цю величину. Наприклад, розміри тіла можливо безпосередньо виміряти лінійкою, штангенциркулем, мікрометром; масу тіла можливо знайти шляхом прямого вимірювання - зважуванням на важільних терезах; тривалість будь-якого процесу можливо безпосередньо вимірити секундоміром, а силу електричного струму в колі – амперметром.
При непрямому вимірюванні значення фізичної величини знаходять, засновуючись на результатах прямих вимірювань інших фізичних величин, з якими ця величина пов'язана функціональною залежністю. Наприклад, середню густину тіла можливо обчислити, користуючись результатами прямих вимірювань маси і об’єму цього тіла; електричний опір можливо знайти з закону Ома, якщо відомі результати прямих вимірювань сили струму і напруги на кінцях цього провідника.
В залежності від вибору метода вимірювань значення фізичних величин можна визначити як шляхом прямих, так і непрямих вимірювань.
Технічні засоби, що використовуються. для виконання експериментальної частини вимірювань, звуться засобами вимірювань. До них належать вимірювальні прилади, міри та вимірювальні системи. Вимірювальними приладами звуться засоби вимірювання, за допомогою яких можливо безпосередньо відраховувати значення величин, що вимірюються. Мірами звуться засоби вимірювання, що служать для відтворення фізичних величин заданих розмірів. Прикладами мір є набори гирь, зразкових опорів, котушок індуктивності, магазини ємностей, індуктивностей, опорів, різні міри довжини, місткості і таке інше.
Внаслідок множини перекручуючих факторів, результат кожного
окремого вимірювання фізичної величини не співпадає з її істинним значенням. Різниця між результатом вимірювання та істинним значенням величини, що вимірюється, зветься похибкою вимірювань. Пов'язана вона з технічними складностями i факторами, які неможливо врахувати.
Розрізняють три типи похибок вимірювань: грубі похибки (промахи), систематичні i випадкові похибки.
Грубі похибки за звичай бувають пов'язані з несправністю вимірювальної апаратури, або з похибкою експериментатора при підрахунку чи запису показань приладив, або з різкою зміною умов вимірювання. Такі результати слід відкидати і проводити нові вимірювання.
Систематичними похибками вимірювань звуться похибки, які при багаточисельних вимірах однієї і тієї ж величини залишаються постійними, або змінюються за певним законом. Ці похибки включають в себе методичні і інструментальні похибки вимірів. Приклад методичної похибки – неточність розрахункової формули. Приклад інструментальної похибки: неточність виготовлення вимірювальних приладів, неточність встановлення «нульового показника» приладу.
Випадковими похибками вимірювань звуться похибки, абсолютна величина i знак яких змінюються при багаторазових вимірюваннях однієї і тієї ж фізичної величини. Такі похибки викликаються багатьма факторами, які не піддаються врахуванню.
Повністю позбавитись від випадкових похибок неможливо, але їхній вплив можливо зменшити шляхом багаторазового повторення вимірів. Розрахунок випадкових похибок провадиться методами теорії вірогідності і математичної статистики.
За найбільш достовірне значення фізичної величини А, що безпосередньо вимірюється, приймають середнє арифметичне <А> з усіх n результатів її вимірювань A1,A2, …, Ai, …, An:
<A> = 1/n Σ Ai
Кінцевий результат вимірювань величини А представляють у формі
A = <A> ± ΔA,
де ΔА – додатна величина, що зветься абсолютною похибкою знайденого значення А.
Абсолютною похибкою зветься різниця між виміряним і середнім значенням величини, що вимірюється, взята за абсолютною величиною:
ΔA = |<A> - Ai|
Якість результатів вимірювань краще характеризувати відносною похибкою.
Відносною похибкою вимірювання ε зветься відношення абсолютної похибки вимірювання до середнього значення величини, що вимірюється:
ε = <ΔΆ>/<Ά>.
Іноді ця величина визначається в процентах, тоді
ε = <ΔΆ> 100% /<Ά>.
Середньоквадратична похибка вимірювань SA (при умові, що випадкові похибки підлягають нормальному розподілу – розподілу Гауса,а кількість вимірювань ≥5) визначається за формулою:
SA = √ Σ (Ai - <A>) 2 / n (n-1)
В загальному випадку потрібно приймати до уваги як випадкові, так i
систематичні похибки прямих вимірювань. При цьому середньоквадратична похибка вимірювання величини А розраховується за формулою
SA = √ (S'A)2 + (S''A)2,
де S'A - середньоквадратична випадкова похибка.
S''A - середньоквадратична систематична похибка.
До середньоквадратичних систематичних похибок відноситься інструмен-тальна похибка.
Інструментальна похибка визначається на основі паспортних даних приладу, його класу точності, точності ноніуса і таке інше.
Класом точності приладу зветься характеристика приладу, яка визначається встановленою для нього державним стандартом межою похибок та інших параметрів, що впливають на точність.
Багато показуючих приладів (манометри, амперметри, вольтметри, ватметри та інші) при визначенні класа точності нормуються по приведеній похибці – похибці, що виражена в процентах відносно верхньої межі вимірів, або довжини шкали.
Застосовуються такі класи точності приладів:
0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0.
Позначка класу точності приладу записується на його шкалі у вигляді відповідних цифр (не заведених у кружечок ). Загальна формула для розра-хунку максимальної інструментальної похибки приладу має вигляд:
ΔA прил = K Amax / 100.
де K - клас точності приладу, Аmax - верхня межа вимірювання приладу ( або даного його діапазону ).
Наприклад, для вольтметра класу 0,5 на діапазоні Umax = 2 В абсолютна похибка дорівнює:
ΔU = 0,5*2В/ 100 = 0,01 В.
Вимірювальні прилади можуть також нормуватись по відносній похибці - такій, що виражається у процентах від дійсного значення величини, яка вимірюється. Позначення класу точності зображується на шкалі такого приладу відповідними цифрами, заведеними в кружечок. В цьому випадку
ΔАприл = К А/100
Якщо клас точності приладу не вказано на шкалі, а в паспорті приладу немає даних відносно його інструментальної похибки, то за звичай вважають, що ця похибка дорівнює половині ціни найменшої поділки шкали приладу. У випадку приладу, стрілка якого переміщується не рівномірно, а стрибками (наприклад. у ручного секундоміра), похибку приладу вважають рівною ціні поділки шкали.
При запису результатів вимірювань в стандартній формі необхідно додержуватись наступних правил:
-похибку необхідно заокруглити до двох значущих цифр, якщо перша з них одиниця і до однієї значущої цифри у всіх інших випадках;
-при запису значень необхідно вказувати всі цифри аж до останнього
десятинного розряду, використаного для запису похибки.
Наведемо приклад обробки результатів прямих вимірювань діаметра d кульки за допомогою мікрометра. Дані вимірювань наведені в таблиці 1.1.
Таблиця 1.1
№ вимірювання |
di,мм |
Δdi,мм |
Δd2i, мм2 |
1 |
5,27 |
0,02 |
0,0004 |
2 |
5,30 |
0,01 |
0,0001 |
3 |
5,28 |
0,01 |
0,0001 |
4 |
5,32 |
0,03 |
0,0009 |
5 |
5,28 |
0,01 |
0,0001 |
Середнє |
5,29 |
0,016 |
0,0003 |
Проведемо розрахунок середньоквадратичних похибок :
випадкова похибка - S'd = √(4+1+1+9+1)/(5*4) 10-4 мм = 0,009 мм.
систематична (інструментальна) похибка –
S''d = 0,01 мм дорівнює точності мікрометра.
Тепер знайдемо середньоквадратичну похибку вимірювання діаметра кульки:
Sd = √0,0092 + 0,012 мм = 0,0134 мм ≈ 0,013 мм.
Правильний запис результатів вимірювань:
d = (5.290 ±0,013) мм
Неправильний записи результатів вимірювань:
d = ( 5,29 ± 0,01 ) мм.
Похибка зменшена більш, ніж на 15-20 % внаслідок порушення правила 1 . d = ( 5,29 ± 0,013 )мм - порушення правила 2.
d = ( 5,2900 ± 0,0134)мм- порушення правила 1.