1. Минимизация в точке.

Пусть функция f (x) задана таблично в точках

И пусть и не совпадает ни с одной из точек . Поставим задачу: какие точки из набора нужно выбрать в качестве узлов интерполирования , чтобы в заданной точке была наименьшей величина . Это и есть задача о минимизации остатка интерполирования в точке y для класса функций, имеющих на [a , b] ограниченную п+1-ю производную.

Из оценки (4.14) видно, что узлы нужно выбирать из условия минимума функции , по всем точкам из . Обозначим через точку из набора , для которой . Положим . Из оставшихся m-1 точек возьмем точку , такую, что . Положим И так далее, выберем все точки, обозначая их . При таком выборе узлов величина будет наименьшей.

2. Минимизация на отрезке.

Пусть функция f (x) задана на аналитически. Тогда можно поставить задачу о минимизации остаточного члена интерполирования на всем отрезке . Т.е. ставим задачу, как выбрать на отрезке точки интерполирования , чтобы величина была наименьшей. Это значит, что в качестве узлов интерполирования нужно взять точки , являющиеся корнями многочлена степени , который на промежутке принимает наименьшее по абсолютной величине значение среди всех многочленов степени со старшим коэффициентом 1. Рассмотрим промежуток . На этом промежутке можно положить , где . Следовательно, на промежутке узлами интерполирования будут корни полинома Чебышева

(4.15)

Максимальное по модулю значение многочлен будет принимать в точках, являющихся точками экстремума на . Это будут точки

+1 , причем .

Построим по узлам (5.2) интерполяционный многочлен Лагранжа . Тогда

(4.16)

где М_n+1 — постоянная, ограничивающая сверху величину .

Если нам нужно произвести интерполирование на произвольном промежутке , то произведем замену

Отсюда

Корни многочлена перейдут в

(4.17)

Многочленом, наименее уклоняющимся от 0 на будет многочлен

Если на взять узлы интерполирования x_m из (4.17) и построить по ним интерполяционный многочлен Лагранжа , то

(4.18)