7

Лекция 4.

§ 3. Конечные разности .

Пусть на промежутке [a,b] дана последовательность точек x₀ , x₁ ,..., x_n и пусть в каждой точке задано значение некоторой функции f(x). Предположим, что точки расположены равномерно, т.е. x_i+1 - x_i = h и обозначим f(x_i) = y_i .Введем определения:

Конечной разностью 1-го порядка для функции f(x) в точке x_i называется выражение

.

Конечной разностью 2-го порядка для функции f(x) в точке x_i называется выражение

.

И вообще

Конечной разностью к-го порядка для функции f(x) в точке x_i называется выражение

.

Конечные разности записываются в виде таблицы:

x0	y0	y0	2y0	...	n y0
x1	y1	y1	2y1	...
x2	y2	y2	...
...	...	...	2yn-2
xn-1	yn-1	yn-1
xn	yn

Нахождение ошибки с помощью таблицы конечных разностей (см. упражнения )

x	y
x(i-3)	y(i-3)	dy(i-3)	d2y(i-3)	d3y(i-3)+e	d4y(i-3)-4e
x(i-2)	y(i-1)	dy(i-2)	d2y(i-2)+e	d3y(i-2)-3e	d4y(i-2)+6e
x(i-1)	y(i-2)	dy(i-1)+e	d2y(i-1)-2e	d3y(i-1)+3e	d4y(i-1)-4e
x(i)	y(i)+e	dy(i)-e	d2y(i)+e	d3y(i)-e	d4y(i)+e
x(i+1)	y(i+1)	dy(i+1)	d2y(i+1)
x(i+2)	y(i+2)	dy(i+2)
x(i+3)	y(i+3)

Свойства конечных разностей.

1. Конечная разность любого порядка от суммы двух функций равна сумме конечных разностей этих двух функций. Т.е. если , то

2. Конечная разность любого порядка от произведения функции на число равна произведению этого числа на конечную разность функции, т.е. .

3. Конечная разность первого порядка от полинома степени n есть полином степени n-1. Действительно, — полином степени п-1. Воспользовавшись свойствами 1. , 2. , получаем наше утверждение.

4. Для конечной разности порядка k имеет место представление:

(3.1)

Докажем это представление методом математической индукции. Для k=1 утверждение выполнено, т.к. . Пусть оно выполнено для конечных разностей порядка

k-1.Тогда = Воспользуемся соотношением Тогда

Отсюда получается (3.1).

Замечание. Пусть E — оператор сдвига на один индекс вперед, т.е. Ey_i=y_i+1 . Тогда можно записать

5. Имеет место представление :

(3.2)

При k=0 утверждение очевидно. Пусть оно имеет место при всех j=1,2,...,k-1. Тогда

Можно условно записать .

6. Связь конечных разностей с разностными отношениями.

Из определения разностных отношений имеем

.Аналогично получаем

(3.3)

Отсюда и из соотношения (2.8) получим

(3.4)