§ 4. Алгебраические интерполяционные многочлены.
Пусть F — пространство вещественных на [a , b] функций. Пусть в n+1 попарно-различных на [a , b] точках даны значения некоторой функции из этого пространства. Построим алгебраический многочлен степени не выше n :
, (4.1)
удовлетворяющий условиям
(4.2)
Соотношения (4.2) образуют линейную алгебраическую систему относительно неизвестных коэффициентов многочлена (4.1). Определитель этой системы есть определитель Вандермонда , следовательно, отличен от 0 , т.к. все значения попарно различны. Значит,многочлен (4.1), удовлетворяющий условиям (4.2) существует и единственен.
Определение. Алгебраический многочлен степени не выше n, совпадающий в п+1 точке со значениями в этих точках некоторой функции , называется алгебраическим интерполяционным многочленом для функции , построенным по точкам . Точки называются узлами интерполирования. Интерполяционный многочлен можно использовать не только в канонической форме, т.е. в виде (4.1). Удобно применять и другие формы. Рассмотрим интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.
Введем в рассмотрение многочлены степени n , удовлетворяющие условиям:
, (4.3)
Эти многочлены имеют корнями при каждом k точки , следовательно, они имеют вид:
, где С — некоторая константа. Найдем С из условия , т.е.
.
Отсюда
.
Следовательно,
(4.4)
Получим более компактную запись многочлена . Введем в рассмотрение многочлен со старшим коэффициентом 1, имеющий корнями все точки . Обозначим его , т.е.
(4.5)
Тогда
(4.6)
Перейдем в этом равенстве к пределу при , учитывая, что
.
Отсюда получаем
(4.7)
Заменим числитель и знаменатель дроби (4.4) правыми частями равенств (4.6) и (4.7):
. (4.8)
Многочлен называется многочленом влияния k - го узла. Всего таких многочленов п +1. Эти многочлены называют также фундаментальными многочленами интерполирования, а также интерполяционными множителями Лагранжа, или лагранжевыми коэффициентами.
Теперь рассмотрим многочлен
(4.9)
Очевидно, это многочлен степени не выше п, т.к. он является суммой многочленов степени не выше п. В силу соотношения (4.3) выполнены условия
(4.10)
Значит, это интерполяционный многочлен, построенный по точкам . Многочлен называется интерполяционным многочленом в форме Лагранжа.
Пример построения многочлена в форме Лагранжа.
x |
f(x) |
0,8000 |
1,0320 |
0,9000 |
1,0090 |
0,6000 |
1,0960 |
Найти f(0,75) |
|
Нужно построить
Подставляем .
Рассмотрим интерполяционный многочлен в форме Ньютона. Он имеет вид
(4.11)
Это многочлен степени n и при всех х0 , х1 , ... , хn имеет место соотношение
в силу свойства разностных отношений (2.5):
Многочлен (4.11) называется интерполяционным многочленом в форме Ньютона.
пример построения интерполяционного многочлена в форме Ньютона.
-
xi
f (xi)
f (xi,xi+1)
f (xi,xi+1,xi+2)
-2
5
-1.795
-0.410
-0.5
2.3075
-2.615
0
1
Вычислим этот многочлен при x = -1:
Погрешность интерполирования
Рассмотрим вопрос о погрешности интерполирования, т.е. о погрешности, которую мы допускаем, заменяя функцию ее интерполяционным многочленом. Положим
(4.12)
Функция определена на отрезке [a , b]. Она называется остаточным членом интерполирования или погрешностью интерполяционной формулы Лагранжа.
Если , т.е. принадлежит пространству многочленов степени не выше п, значит, она сама является многочленом степени не выше п. Тогда . Если же , т.е не является многочленом степени не выше п, то обращается в 0 в узлах и заведомо отлична от 0 в других точках промежутка [a , b]. Имеет место
Теорема. Пусть, имеет на [a , b] непрерывные производные до порядка п включительно и существует ограниченная на [a , b] . Пусть отрезок [a , b] является наименьшим отрезком, содержащим узлы и точку у, в которой производится интерполирование, т.е.
.
Тогда на промежутке [a , b] существует такая точка , что
(4.13)
где .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если , то левая и правая части равенства (4.13) обращаются в 0. Пусть y не совпадает ни с одним из узлов, т.е. , . Введем вспомогательную функцию:
где С — некоторая постоянная. Очевидно, , т.е. узлы являются корнями функции (х) на промежутке [a , b]. Найдем постоянную С из условия, что у — тоже корень функции (х), т.е. . Тогда
Функция (х) имеет на промежутке [a , b] п+2 попарно различных корня . По теореме Ролля между любыми двумя соседними корнями функции (х) лежит по крайней мере один корень производной . Всего отрезков п+1 , следовательно, производная имеет внутри [a , b] по крайней мере п+1 корень. Применяем теорему Ролля к функции . Получаем, что 2-я производная имеет внутри [a , b] , по крайней мере, п корней. Продолжая рассуждения аналогичным образом, получаем, что имеет внутри [a , b], по крайней мере, 1 корень. Обозначим его через . Возьмем производную п+1-го порядка от функции . При этом воспользуемся тем, что степень многочлена не выше п, следовательно, производная п+1-го порядка от него будет равна 0, а многочлен имеет степень п+1 и старший коэффициент 1, следовательно, производная п+1-го порядка от него будет равна . Таким образом, получаем
Т.к. , то из последнего равенства и следует (4.13).
О минимизации остаточного члена формулы Лагранжа.
Пусть f (x) принадлежит классу функций, имеющих на [a , b] ограниченную п+1-ю производную, так что всюду на [a , b]. Тогда из
(4.13)
где . (см. лек.2)
можно записать оценку
(4.14)