§ 4. Алгебраические интерполяционные многочлены.
Пусть F — пространство
вещественных на [a ,
b] функций. Пусть в n+1
попарно-различных на [a
, b] точках
даны значения некоторой функции
из
этого пространства. Построим алгебраический
многочлен степени не выше n
:
, (4.1)
удовлетворяющий условиям
(4.2)
Соотношения (4.2) образуют линейную алгебраическую систему относительно неизвестных коэффициентов многочлена (4.1). Определитель этой системы есть определитель Вандермонда , следовательно, отличен от 0 , т.к. все значения попарно различны. Значит,многочлен (4.1), удовлетворяющий условиям (4.2) существует и единственен.
Определение. Алгебраический
многочлен степени не выше n,
совпадающий в п+1 точке
со значениями в этих точках некоторой
функции
,
называется алгебраическим
интерполяционным многочленом для
функции
,
построенным по точкам
.
Точки
называются узлами интерполирования.
Интерполяционный многочлен можно
использовать не только в канонической
форме, т.е. в виде (4.1). Удобно применять
и другие формы. Рассмотрим интерполяционный
многочлен в форме Лагранжа.
Введем в рассмотрение многочлены
степени
n , удовлетворяющие
условиям:
,
(4.3)
Эти многочлены имеют корнями при каждом
k точки
,
следовательно, они имеют вид:
,
где С — некоторая константа. Найдем
С из условия
,
т.е.
.
Отсюда
.
Следовательно,
(4.4)
Получим более компактную запись
многочлена
.
Введем в рассмотрение многочлен со
старшим коэффициентом 1, имеющий корнями
все точки
.
Обозначим его
,
т.е.
(4.5)
Тогда
(4.6)
Перейдем в этом равенстве к пределу при
,
учитывая, что
.
Отсюда получаем
(4.7)
Заменим числитель и знаменатель дроби (4.4) правыми частями равенств (4.6) и (4.7):
.
(4.8)
Многочлен называется многочленом влияния k - го узла. Всего таких многочленов п +1. Эти многочлены называют также фундаментальными многочленами интерполирования, а также интерполяционными множителями Лагранжа, или лагранжевыми коэффициентами.
Теперь рассмотрим многочлен
(4.9)
Очевидно, это многочлен степени не выше п, т.к. он является суммой многочленов степени не выше п. В силу соотношения (4.3) выполнены условия
(4.10)
Значит, это интерполяционный многочлен,
построенный по точкам
.
Многочлен
называется
интерполяционным многочленом в
форме Лагранжа.
Пример построения многочлена в форме Лагранжа.
x |
f(x) |
0,8000 |
1,0320 |
0,9000 |
1,0090 |
0,6000 |
1,0960 |
Найти f(0,75) |
|
Нужно построить
Подставляем
.
Рассмотрим интерполяционный многочлен в форме Ньютона. Он имеет вид
(4.11)
Это многочлен степени n и при всех х0 , х1 , ... , хn имеет место соотношение
в силу свойства разностных отношений
(2.5):
Многочлен (4.11) называется интерполяционным многочленом в форме Ньютона.
пример построения интерполяционного многочлена в форме Ньютона.
-
xi
f (xi)
f (xi,xi+1)
f (xi,xi+1,xi+2)
-2
5
-1.795
-0.410
-0.5
2.3075
-2.615
0
1
Вычислим этот
многочлен при x
= -1:
Погрешность интерполирования
Рассмотрим вопрос о погрешности интерполирования, т.е. о погрешности, которую мы допускаем, заменяя функцию ее интерполяционным многочленом. Положим
(4.12)
Функция
определена
на отрезке [a , b].
Она называется остаточным членом
интерполирования или погрешностью
интерполяционной формулы Лагранжа.
Если
,
т.е. принадлежит пространству многочленов
степени не выше п, значит, она сама
является многочленом степени не выше
п. Тогда
.
Если же
,
т.е не является многочленом степени не
выше п, то
обращается
в 0 в узлах
и
заведомо отлична от 0 в других точках
промежутка [a , b].
Имеет место
Теорема. Пусть,
имеет
на [a , b]
непрерывные производные до порядка п
включительно и существует ограниченная
на [a , b]
.
Пусть отрезок [a
, b] является
наименьшим отрезком, содержащим узлы
и точку у, в которой производится
интерполирование, т.е.
.
Тогда на промежутке [a
, b] существует
такая точка
,
что
(4.13)
где
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если
,
то левая и правая части равенства (4.13)
обращаются в 0. Пусть y
не совпадает ни с одним из узлов, т.е.
,
.
Введем вспомогательную функцию:
где С — некоторая постоянная.
Очевидно,
,
т.е. узлы
являются корнями функции
(х) на промежутке [a
, b]. Найдем постоянную
С из условия, что у — тоже корень
функции (х),
т.е.
.
Тогда
Функция (х)
имеет на промежутке [a
, b] п+2 попарно
различных корня
.
По теореме Ролля между любыми двумя
соседними корнями функции
(х) лежит по крайней мере один
корень производной
.
Всего отрезков п+1 , следовательно,
производная
имеет внутри [a , b]
по крайней мере п+1 корень. Применяем
теорему Ролля к функции
.
Получаем, что 2-я производная
имеет внутри [a , b]
, по крайней мере, п корней. Продолжая
рассуждения аналогичным образом,
получаем, что
имеет внутри [a , b],
по крайней мере, 1 корень. Обозначим его
через
. Возьмем производную п+1-го порядка
от функции
.
При этом воспользуемся тем, что степень
многочлена
не
выше п, следовательно, производная
п+1-го порядка от него будет равна
0, а многочлен
имеет
степень п+1 и старший коэффициент
1, следовательно, производная п+1-го
порядка от него будет равна
. Таким образом, получаем
Т.к.
,
то из последнего равенства и следует
(4.13).
О минимизации остаточного члена формулы Лагранжа.
Пусть f (x)
принадлежит классу функций, имеющих на
[a , b]
ограниченную п+1-ю производную, так
что
всюду на [a , b].
Тогда из
(4.13)
где . (см. лек.2)
можно записать оценку
(4.14)