Лекция №2

II. Сложные проценты

§1. Начисление сложных процентов.

1.1. Формула наращения. В долгосрочных финансово-кредитных операциях как правило применяются сложные проценты. При сложных процентах начисление за данный период времени производится на наращенную сумму за все предыдущие периоды.

Так как базой для начисления сложных процентов является наращенная сумма, то база является переменной величиной и все время увеличивается в отличие от постоянной базы при начислении простых процентов. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называется капитализацией процентов.

На практике, как правило, применяются дискретные сложные проценты, когда проценты начисляются в определенные интервалы времени (год, квартал, месяц) при постоянной ставке процентов для данного интервала. Иногда используются и непрерывные проценты, особенно тогда, когда процентная ставка изменяется со временем.

Пусть i_c постоянная на весь срок ссуды годовая ставка процентов, а P -первоначальный размер ссуды. По окончании первого года наращенная сумма составит величину: . Так как за второй год проценты начисляются на наращенную сумму S₁, то величина наращенной суммы после второго года будет равна: и т.д. После n лет имеем:

(2.1)

Эта формула называется формулой начисления по сложным процентам, а сами проценты рекурсивными. Величина _iⁿ называется множителем наращения по сложным процентам. Значения множителя наращения для целых чисел n приводятся в соответствующих таблицах.

Если процентная ставка дискретно изменяется в определенные моменты времени, а между ними имеет фиксированное значение, то вычисление сложных процентов производиться по формуле:

(2.2)

где i_k и n_k - ставка простых процентов и продолжительность начислений по этой ставке в периоде k.

1.2. Скорость роста при сложных и простых процентах и формулы удвоения. Скорость роста определяется множителем наращения. Величины множителей наращения по простой и сложной процентным ставкам при абсолютно одинаковых ставках процентов удовлетворяют при сроке меньше года следующему неравенству:

а при сроке больше года неравенству:

Формулы удвоения. Различия в последствиях применения сложных и простых процентов, особенно наглядно видно при определении времени, для заданного увеличения первоначальной суммы P в K раз. Имеем

а) простые проценты:

б) сложные проценты:

При удвоение (K=2) имеем:

а) по простым процентам: n=1/i,

б) по сложным: n=ln 2/ln(1+i_c).

1.3. Начисление годовых процентов при дробном числе лет. При дробном числе лет n начисление проводится двумя способами.: по формуле сложных процентов (2.1) или на основе смешанного метода, когда за целое число лет начисляются сложные проценты, а дробное число лет - простые проценты:

(2.3)

где n=a+b, a - целое число лет, b - дробная часть года.

1.4. Номинальная ставка. Проценты как правило начисляются не один раз в год, а несколько раз в году. Можно пользоваться формулой (2.1), в которой n равно общему числу периодов начисления, а i_с процентная ставка за соответствующий период. Так как в контрактах обычно фиксируется годовая ставка процентов, то на практике используют другой метод расчета.

Определение. Если при годовой процентной ставке j предусмотрено m периодов начисления в год, то проценты за каждый период начисляются по ставке j/m, а ставка j называется номинальной процентной ставкой.

Заметим, что номинальная ставка j с m=1 соответствует обычной годовой ставке сложных процентов i_c.

Начисление по номинальной ставке производится по формуле:

(2.4)

где mn - количество периодов начисления в течении n лет. При m=1 эта формула совпадает с формулой начисления по сложным процентам (2.1).

Для срока n=1/m из (2.4) имеем: . Следовательно, при начислениях процентов m раз в году, за период времени 1/m имеем проценты: I=Pj/m=Pj_m,, где j_m=j/m - процентная ставка за период 1/m.

Если количество периодов начисления mn не целое число, то иногда используется формула смешанного метода (2.3) при ставке j/m:

(2.5)

где mn=a+b, a -целое число периодов начисления, b - дробная часть одного периода начисления.

Для определения значений a и b срок ссуды t и период T=1год вычисляют в месяцах и пользуются формулой:

1.5. Эффективная ставка. Введем новое понятие - действительную или эффективную ставку.

Определение. Эффективная ставка i_c это такая годовая ставка сложных процентов, которая дает такую же наращенную сумму, что и номинальная ставка j/m при m начислениях за год.

На основании этого определения имеем:

(2.6)

Отсюда для расчета эффективной ставки получаем соотношение:

(2.7)

Соотношения между номинальными и эффективными ставками приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

j		ic ()
()	m=2	m=4	m=12
3	3,0225	3,0339	3,0416
5	5,0626	5,0945	5,1162
8	8,1600	8,2432	8,300
10	10,2500	10,3813	10,4713

Иногда требуется определить номинальную ставку j, если известно значение действительной ставки i_с. В этом случае имеем:

(2.8

1.6. Математическое дисконтирование по сложной ставке процентов. Так же как и в случае простых процентов решая уравнение (2.1) относительно P и заменяя P на A получаем:

(2.9)

где _iⁿ - учетный или дисконтный множитель.

Рассмотрим общий случая, когда проценты начисляются m раз в году (при m=1 это будет соответствовать дисконтированию по сложной ставке, когда проценты начисляются один раз в году). Из (2.4) имеем:

(2.10)

При m=1 формулы (2.9) и (2.10) естественно совпадают.

Как уже говорилось выше величину A, полученную дисконтированием величины S, называют современной или приведенной, т.е. платеж в сумме S через n лет равноценен сумме A, выплачиваемой в настоящий момент времени. Так как по определению дисконт D=S-A, то на основании (2.9) и (2.10) получаем следующие формулы для расчета дисконта:

а) проценты начисляются раз в году

б) проценты начисляются m раз в году