1) Все члены последовательности лежат в левой половине, то есть, принадлежат [x1; m1]; 2) Начиная с некоторого номера члены последовательности лежат на [m1; m].

Выберем ту половину, в которой лежит бесконечно много членов последовательности и повторим операцию. Возникнет последовательность вложенных друг в друга отрезков, которая по аксиоме Кантора имеет непустое пересечение. С другой стороны длины этих отрезков образуют убывающую последовательность l , где а – длина первого выбранного отрезка. = 0, поэтому это пересечение состоит из одного числа, которое и будет являться пределом (x_n) (в любой его окрестности лежит какой-либо из рассмотренных отрезков, то есть, лежат все члены последовательности, начиная с некоторого номера).

Аналогично рассматривается случай убывания последовательности.

Следствие. Любая монотонная последовательность имеет предел (конечный либо бесконечный). Обоснуйте.

[Если эта последовательность ограничена, то по теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел. Если она не ограничена, то по аналогичной схеме получим, что возрастающая последовательность стремится к +µ, а убывающая – к –µ (см. таблицу)]

Таким образом, монотонность последовательности – достаточное условие существования предела.

Что следует из того, что последовательность не ограничена и не монотонна? [Последовательность расходится (см. таблицу)]

Некоторые примеры применения теоремы Вейерштрасса.

Примеры. 1) Рассмотрим последовательность периметров вписанных в окружность правильных n – угольников при неограниченном удвоении n (сделать рисунок). Эта последовательность возрастает и ограничена (например периметром описанного квадрата), следовательно имеет предел, который мы и принимали за определение длины окружности. Аналогичная ситуация возникает и с площадью круга.

2) Рассмотрим последовательность десятичных приближений какого-либо иррационального числа, например, с недостатком: 1; 1,4; 1,41; ... Она – возрастает и ограничена (например, числом 1,5), следовательно имеет предел, равный .

Замечание. В примерах 1 и 2 можно было рассматривать и убывающие последовательности: периметров или площадей описанных правильных n – угольников или десятичных приближений иррационального числа с избытком. Почему при таком подходе мы получим такие же пределы?

[Рассмотрим последовательность вложенных отрезков, тогда последовательность их длин стремится к нулю, то есть, пересечение отрезков состоит из одной точки!]

3) Вычислить: sin(sin(sin(...(sin1)...), где количество скобок бесконечно.

Рассмотрим (x_n): x₁ = sin1; x₂ = sin(sin1); ... . Так как "nÎN |x_n| £ 1, то (x_n) – ограничена. Докажем, что (x_n) – убывает. Действительно, "tÎ(0; ) sint < t (см. рис.). Поэтому, sin1 < 1. Далее – по индукции. Таким образом, (x_n) – сходится. Пусть x_n = x, тогда sinx = x, то есть, x = 0. Таким образом, sin(sin(sin(...(sin1)...) = 0.

Через урок – к/р!

Домашнее задание: теорема Вейерштрасса; 1) Исследуйте на сходимость сумму, произведение и частное двух расходящихся последовательностей; 2) (x_n): x₁ = 3; x₂ = 6; x_{n + 2} = 3x_{n + 1} – 2x_n – 1. Докажите, что x_n = n + 2ⁿ. 3) . Исследуйте (с_n) на монотонность и ограниченность и сделайте вывод о ее пределе. 4) Вычислите: а) ; б) (aÎR⁺; n – количество радикалов); в) .

Урок 111, 112	11.02.
Понятие о рядах и их сумме.

1. Проверка д/з: вопросы? 1) [Могут быть как сходящимися, так и расходящимися] Примеры? (записать на доске) 4) [а) 0; б) а; в) 2 (докажем, что последовательность возрастает и ограничена, следовательно, она сходится. Пусть x_n = x, тогда 2 + x = x², где x > 0]

2. Устно: 1) А) (a_n) – арифметическая прогрессия. Б) (b_n) – геометрическая прогрессия. Какой она может иметь предел и от чего это зависит? [От вида монотонности и ограниченности. А) a_n = Б) b_n = ]

2) Известно, что (x_n) – сходится и ее предел отличен от нуля; (y_n) – расходится. Как ведут себя последовательности: а) (x_n + y_n); б) (x_ny_n); в) ; г) [а), б) расходится (от противного); в) может как сходиться, например, x_n = ; y_n= n, так и расходиться, например, x_n = ; y_n = ; г) расходится (от противного)]

3) Верно ли что каждое из слагаемых – сходится, если одновременно сходятся их: а) сумма и разность; б) произведение и частное; в) сумма и произведение? [а) да, так как сходится (x_n + y_n) + (x_n – y_n) = 2x_n; б) нет, например, x_n = y_n = (–1)ⁿ; в) нет, например, x_n = (–1)^{n + 1}; y_n = (–1)ⁿ]

3. Новый материал. Изучая в 9 классе прогрессии, мы находили суммы их первых n членов, обозначая их S_n. На примере бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы познакомились также с бесконечной суммой. Уточним это понятие.

Определения. Пусть (x_n) – числовая последовательность, тогда:

1) "nÎN S_n = называется ее частичной суммой, а (S_n) – последовательностью частичных сумм.

2) называется бесконечным числовым рядом этой последовательности.

3) Если этот предел существует и равен числу S, то ряд называется сходящимся, а S – его суммой. В противном случае ряд называется расходящимся.

Примеры. 1) а_n = 2n – 1; S_n = n²; n² не существует, следовательно, ряд = 1 + 3 + 5 + ... – расходится.

2) b_n = ; S_n = 1 – ; (1 – ) = 1, следовательно, = = 1, то есть такой ряд сходится (см. 4б из домашней работы).

3) Любую периодическую десятичную дробь можно рассматривать как сумму бесконечного сходящегося ряда, суммой которого является рациональное число, например, 0,(3) = 0,3 + 0,33 + ... = = .

4) c_n = ; – гармонический ряд (каждый его член, начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних). Одно из самых знаменитых утверждений теории рядов – доказательство, что он – расходится!

5) x_n = . Как вы думаете, существует ли = 1 – + – + ... ? Оказывается, что существует, причем !

Желающие могут продолжить изучение рядов, используя литературу по математическому анализу. Нам же понятие ряда и его суммы позволит вычислять некоторые бесконечные суммы.

4. Устно: 1) Докажите, что любая арифметическая прогрессия, отличная от а_n = 0, образует расходящийся бесконечный ряд [ ; S_n = ±µ]

2) Докажите, что геометрическая прогрессия образует при |q| < 1 сходящийся ряд, а при |q| ³ 1 – расходящийся ряд [ при q ¹ 1 и S_n = nb₁ при q = 1]

3) Сходящимся или расходящимся является бесконечный ряд: 1 – 1 + 1 – 1 + ... ? [Расходящимся, так как x_n = (–1)^{n – 1}; S_n = ]

5. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!): Вычислите: 1) [... = = – ]; 2) [... = = 0,3];

3) [... = = = ];

4) [... = = = –2];

5) , где аÎR [... = a× = a].

Домашнее задание: определения бесконечного ряда, его частичной суммы и его суммы. Вычислите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Урок 113, 114	13.02.
Обобщающий урок по теме: «Последовательности». Контрольная работа №6.

1. Проверка д/з: вопросы? [1) ; 2) ; 3) 6; 4) ; 5) 0,1; 6) 0,75]

2. Новый материал. В заключение, рассмотрим другой возможный подход к развитию теории пределов последовательностей, который принят в некоторых учебниках.

Сначала дается традиционное определение предела, но только для случая, когда он равен 0. Потом вводится понятие бесконечно малой последовательности: (a_n) называется бесконечно малой, если a_n = 0. После этого доказывается, что сумма и произведение бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми. Отдельно рассматривается теорема о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательности (мы обошлись без аналогичной теоремы, доказывая «по ходу», что произведение сходящейся и ограниченной – сходится).

Затем "(x_n) доказывается, что x_n = c Û x_n = a_n + c и тем самым мы приходим к последовательностям, имеющим произвольный конечный предел и к традиционным теоремам о вычислении пределов. Бесконечный предел имеют последовательности вида . Такой подход мы частично реализуем, когда будем заниматься пределами функций.

Еще одна возможная логика изложения – сначала предел функции, а предел последовательности – его частный случай (учебник Н.Я. Виленкина).