Тема 4. Застосування статичних стохастичних моделей в задачах економічного аналізу і ухвалення рішень

4.1. Модель дерева вірогідності в мережевому моделюванні. Древо рішень

4.2. Кореляційно-регресійний аналіз

4.1. Модель дерева вірогідності в мережевому моделюванні. Древо рішень

Моделі дерева вірогідності і дерева рішень є представниками великого класу мережевих моделей (моделей теорії графів).

В значній мірі методи мережевого аналізу засновані на теорії графів - області математики, початком розвитку якої з'явилася задача про кенігсбергські мости, сформульована швейцарським ученим Л.Ейлером в 1736г. Через річку Прегель, на якій стояло місто Кенігсберг, побудовано сім мостів (рис.4.1), які пов'язували з берегами і один з одним два острови. Задача полягала в тому, щоб пройти по всіх мостах тільки один раз і повернутися назад до початку маршруту. Ейлер довів нерозв'язність цієї задачі.

Пізніше Д.К.Максвелл і Г.Р.Кирхгоф на основі дослідження електричних ланцюгів сформулювали деякі принципи мережевого аналізу

Острів 1

Острів 2

р.Прегель

Рис.11. Модель Ейлера про кенігсбергські мости

У дослідницькій діяльності більшість виникаючих задач зручно представляти для сприйняття і аналізу у вигляді мереж, які дозволяють відповісти на два головні питання: до якого місця необхідно дійти (мета) і який шлях слід вибрати (як).

У даній темі розглянемо перший тип задачі, який зручно розглядати на особливому виді мереж - дереві (незамкнутої мережі з однією метою і рядом підцілей (або варіантів руху). Такі мережі допомагають вирішувати задачі вірогідності.

Дерево вірогідності - це рисунок, на якому показана безумовна (першого порядку) і умовна (другого і наступних порядків) вірогідність для комбінації двох і більш подій. Дерево вірогідності тісно пов'язане з деревом рішень, яке широко використовують у фінансах і інших областях комерційної діяльності.

Правила побудови дерева вірогідності.

Перше. Для побудови дерева вірогідності перш за все необхідно намалювати саме дерево, потім написати на малюнку всю відому для даної задачі інформацію (відзначити вірогідність настання всіх подій) і, нарешті, скористатися основними правилами, щоб обчислити бракуючі числа і закінчити дерево.

Друге: хід побудови дерева вірогідності.

1. Вірогідність указується в кожній з кінцевих крапок і обводиться кружечками. На кожному рівні дерева сума цієї вірогідності повинна дорівнювати 1 (або 100%). Це правило допомагає заповнити один порожній кружок в стовпці, якщо значення всієї решти вірогідності цього рівня відомі. Так, наприклад, на рис 1 сума вірогідності на першому рівні (безумовна вірогідність) складає 0,20+0,80=1 і на другому рівні (умовна вірогідність) - 0,03+0,17+0,56+0,24=1.

2. Умовна вірогідність указується поряд з кожною з гілок (окрім гілок першого рівня). Для кожної з груп гілок, що виходять з однієї крапки, сума цієї вірогідності також рана 1 (або 100%). Це правило дозволяє обчислити одне невідоме значення умовної вірогідності в групі гілок, витікаючих з однієї крапки.

3. Обведена в кружок на початку гілки вірогідність, помножена на умовну вірогідність поряд з цією гілкою, дає вірогідність, записану в кухлі в кінці гілки. Це правило модно використовувати для обчислення одного невідомого значення вірогідності з трьох, відповідних деякій гілці.

4. Записане в кружок значення вірогідності рівне сумі обведеної кухлями вірогідності на кінцях всіх гілок, що виходять з цього кружка (розгалуження дерева) управо. Це правило дозволяє знайти одне невідоме значення вірогідності в групі, що включає цю вірогідність і всю вірогідність на кінцях гілок дерева, що виходять з відповідного круга.