Метод мінімізації суми квадратів нев’язок
Суть методу полягає в тому, що систему рівнянь (5.1) зводимо до одного рівняння
,
(5.4)
яке відрізняється від рівняння (5.3) тільки тим, що замість суми модулів є сума квадратів лівих частин рівняння (5.1). В обох випадках μ не менше від нуля, а коли μ = 0, то значення невідомих визначають корені рівняння. Розв’язання рівняння, як і в попередньому методі, знаходимо за допомогою спуску за координатами. Недоліки ті самі, - переваги визначити важко, збіжність рівнянь залежить від конкретної системи рівнянь. В одному випадку швидше збігається перший з методів, в іншому - другий. Вгадати або вирахувати, який з методів збігається швидше практично неможливо.
Приклад розрахунку наводити не будемо, оскільки він аналогічний до попереднього і ми на підставі розв’язання прикладу цим методом не відкриємо Вам нової істини.
Зафіксуйте цей метод у своїй пам’яті, можливо він Вам у житті знадобиться.
5.3 Метод Ньютона
Нехай нам потрібно
розв’язати рівняння (5.1) методом Ньютона.
Задаємося довільними початковими
умовами всіх невідомих
.
Запишемо канонічну ітераційну формулу Ньютона для розв’язання системи нелінійних скінченних рівнянь
(5.5)
де k = 0, 1, 2 , … n;
- обернена матриця
Якобі; (5.6)
- вектор нев’язок.
(5.7)
Матриця Якобі – матриця всіх часткових похідних всіх рівнянь за всіма невідомими
,
(5.8)
де
- часткова похідна i
– го рівняння за j
– тою змінною (n i, n j).
Процес розрахунку за (5.5) здійснюють до тих пір, поки не задовольниться умова
Norma
(
-
)
α, (5.9)
де α задане мале число, що впливає на точність розрахунку коренів системи рівнянь, поняття норми Ви одержали при вивченні векторного та матричного числення (за довідкою про поняття Norma можете звернутися до [1], стор. 178).
Для математика вже сказано все, як розв’язати поставлену перед ним задачу, він має всі дані. Але ще трішки поміркуємо, щоб створити тактичний план дій:
приймемо k = 0;
задаємося початковими значеннями всіх невідомих ;
за (5.7) обчислимо нев’язки;
підставивши в (5.8) початкові значення невідомих, знайдемо матрицю Якобі;
за відомими Вам з математики методами знайдемо обернену матрицю Якобі;
за (5.6) знайдемо перше наближення кореня (оскільки k = 0, то ми фактично знайшли вектор
першого
наближення до кореня);визначимо похибку за умовою (5.9), якщо умова (5.9) задовольняється, то зупиняємо процес розрахунку наближень до кореня, якщо не задовольняється, переходимо до наступного пункту;
приймемо k = k +1 (тепер k = 1);
повторно виконаємо план дій, але за початкове наближення вже приймемо вектор ;
і т.д.
5.3.1 Приклад – метод Ньютона
Для даного рівняння (5.2) необхідно знайти струми за методом Ньютона. Задамо початкові значення струмів в матричній формі
(5.10)
Запишемо канонічну ітераційну формулу Ньютона для розв’язання (5.2)
(5.11)
де k = 0, 1, 2, … ,
(5.12)
(5.13)
матриця Якобі
(5.14)
Підставивши в (5.11) значення електрорушійних сил, k = 0 та вирази (5.10), (5.13) і (5.14), одержимо
(5.15)
Обчислені за (5.15) струми приймаємо за початкові значення (див. (5.10)) і продовжуємо розрахунок за формулами (5.11) ÷ (5.15). Результати розрахунку за методом Ньютона зведені в таблиці 5.2, в якій наведені початкові значення струмів у кожному кроці ітераційного процесу, нев’язки рівнянь обчислені при початкових значеннях струмів та кінцеві значення струмів, обчислені за (5.11) (у кожному рядку кінцеві значення струмів є початковими значеннями наступного рядка). Зверніть увагу, що значення величин, які наведені в таблиці (5.2), заокруглені до меншої кількості знаків у порівнянні до формули (5.15), однак обчислення проводилися зі значно більшою кількістю знаків.
Таблиця 5.2 - Розрахунки за методом Ньютона
№ |
Початкові значення струмів |
Нев’язки рівнянь |
Кінцеві значення струмів |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-10 |
-20 |
-6,3780 |
-2,2835 |
8,6614 |
1 |
-6,3780 |
-2,2835 |
8,6614 |
0,0000 |
524,10 |
3767,7 |
-4,2584 |
-1,5204 |
5,7788 |
2 |
-4,2584 |
-1,5204 |
5,7788 |
0,0000 |
153,45 |
1112,6 |
-2,8813 |
-0,9839 |
3,8652 |
3 |
-2,8813 |
-0,9839 |
3,8652 |
0,0000 |
43,518 |
325,60 |
-2,0414 |
-0,5694 |
2,6108 |
4 |
-2,0414 |
-0,5694 |
2,6108 |
0,0000 |
11,184 |
92,376 |
-1,6064 |
-0,2208 |
1,8272 |
5 |
-1,6064 |
-0,2208 |
1,8272 |
0,0000 |
2,2746 |
23,793 |
-1,4367 |
0,0212 |
1,4155 |
6 |
-1,4367 |
0,0212 |
1,4155 |
0,0000 |
0,3262 |
4,5638 |
-1,3930 |
0,1066 |
1,2864 |
7 |
-1,3930 |
0,1066 |
1,2864 |
0,0000 |
0,0236 |
0,3593 |
-1,3891 |
0,1147 |
1,2743 |
8 |
-1,3891 |
0,1147 |
1,2743 |
0,0000 |
0,0002 |
0,0029 |
-1,3891 |
0,1148 |
1,2742 |
9 |
-1,3891 |
0,1148 |
1,2742 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
-1,3891 |
0,1148 |
1,2742 |
10 |
-1,3891 |
0,1148 |
1,2742 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
-1,3891 |
0,1148 |
1,2742 |
