V. Решение дилеммы
Очевидно, мы приходим к следующей дилемме. Измеряя время распространения, мы видим, что взаимодействие шаров хорошо описывается законом Герца. Однако численные эксперименты с таким же показателем степени показывают, что в этом процессе столкновения нельзя полностью пренебречь дисперсией. С другой стороны, непосредственное визуальное наблюдение цепочки шаров приводит к вполне достоверному заключению о том, что система не имеет дисперсии. Действительно, если бы в первом цикле столкновения имелась хотя бы слабая дисперсия, то она усилилась бы после того, как последний шар стал бы играть роль налетающего и привел бы к возникновению второго цикла столкновений, распространяющихся по цепочке; в свою очередь, второй цикл закончился бы тем, что первый шар вновь начал бы следующий цикл и т. д. Если бы цепочка описывалась законом Герца, то после небольшого числа таких прямых и обратных циклов положения шаров пришли бы в полный беспорядок.
Однако такого разупорядочения не происходит, и это можно понять, если провести более тщательное наблюдение цепочки непосредственно после первого столкновения. По существу шары, которые считают*! находящимися в состоянии покоя, в действительности в нем не находятся. Они движутся в полном соответствии с тем, что дают результаты численного моделирования при r =1,5, причем это движение вызвано, отнюдь не какими-либо недочетами при постановке эксперимента, как можно было бы предположить. Кажущаяся дилемма разрешается следующим образов. После того как закончится первый цикл столкновения и последний шар будет возвращаться назад в свое исходное положение, «покоящаяся» цепочка шаров будет находиться в другом состоянии, отличном от того, в котором она находилась первоначально. Когда последний шар возвращается обратно к положению равновесия, остальные шары не только движутся, но кроме того, каждый из них отделен от своих ближайших соседей небольшим зазором. Поэтому в силу простых причин, описанных в разд. 1, второй цикл столкновений представляет собой распространение возмущения без дисперсии. Как видно из кривых зависимости смещения от времени на рис. 4, а, для такого распространения по цепочке без дисперсии достаточно, чтобы зазор между шарами составлял нее: 40 мкм. Таким образом, в первом цикле столкновений система имеет небольшую дисперсию, а вовсе последующих циклах система оказывается полностью свободной от дисперсии.
VI. Выводы
Цепочку упругих шаров, подвешенных на двух нитях и образующих горизонтальный ряд, можно моделировать системой точечных масс, взаимодействующих посредством пружин особого типа. Пружины играют роль вещества, из которого изготовлены шары в области непосредственного контакта шаров.
В соответствии с теорией Герца показатель степи ни в соотношении, связывающем силу с деформацией пружины, для этих пружин равен 1,5. Численные расчеты на ЭВМ для цепочки шаров с использованием этого закона обнаруживают, что по сравнению со случаем, когда пружина подчиняется закону Гука, дисперсия уменьшается, но не исчезает полностью. Тщательные визуальные наблюдения за цепочкой шаров показывают, что после столкновения отдельные шары, которые, как предполагалось, находятся в покое внутри цепочки, на самом деле движутся. Это согласуется также с численным моделированием процесса столкновения. Из-за того, что в начальном состоянии цепочки имеется небольшая дисперсия, шары после первого цикла столкновений больше не соприкасаются друг с другом. Именно поэтому во всех последующих циклах столкновений цепочка представляет собой систему с полным отсутствием дисперсии.
литература
Herrmann F., Schmalzle P. — Amer. J. Phys., 1981, p. 761.
Hertz H. — J. Reine Angew. Math., 1881, v. 92, pp. 156—171; эта статья Герца воспроизводится в книге: Hertz Н. Gesammelte Werke (Leipzig), 1895, Bd. I, pp. 155—173.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. 3-е изд., испр. и дополн. — М.: Наука, 1965.
Love А. Е. Н. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity.— New York: Dover, 1927, pp. 193—200. [Имеется перевод: Ляв А. Математическая теория упругости.—М.—Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935.]