Задача о столкновениях шаров

I. Введение

На рис. 1 показана система упругих шаров, которая обычно используется в широко известных опытах по демонстрации закона сохранения импульса. Каждый шар этой цепочки подвешивается на двух нитях, причем соседние шары касаются друг друга. Если некоторое число шаров вывести из положения равновесия, а затем свободно отпустить, то мы увидим, что после столкновения этих шаров с покоящимися с противоположной стороны цепочки отклонится столько шаров, сколько мы первоначально вывели из состояния равновесия.

Рис. 1. Цепочка упругих шаров, используемая обычно для демонстрации закона сохранения импульса.

Наблюдаемое поведение согласуется с законами сохранения энергии и импульса. Однако если цепочка состоит более чем из двух шаров, объяснить поведение шаров исходя только из этих двух законов сохранения нельзя. Германн и Шмельцле [1] показали, что для полного понимания здесь необходимо привлечь дополнительное условие, а именно условие отсутствия дисперсии. Указанный выше простой и хорошо знакомый характер поведения цепочки шаров имеет место лишь только в том случае, когда форма возмущения, распространяющегося по цепочке после столкновения, остается неизменной. Это утверждение не зависит от того, почему именно отсутствует дисперсия.

В простейшем случае цепочка шаров не будет иметь дисперсии, когда подвешенные шары разделены небольшими зазорами. Если отклонить всего лишь один (крайний) шар, то по цепочке распространится последовательность независимых парных столкновений между двумя соседними шарами. В этом случае импульс налетающего шара полностью передается второму шару, прежде чем второй шар придет в контакт с третьим, и т. д. Аналогичное поведение наблюдается и в эксперименте с демонстрационной скамьей, по которой скользят на воздушной подушке тележки с пружинными бамперами на обоих концах. Тележки расставляются вдоль скамьи с зазорами между ними. Если какая-то тележка начнет двигаться по направлению к другой, находящейся в покое, то движущаяся тележка затормозится и в конечном итоге остановится, тогда как тележка, находящаяся в покое, разгонится и достигнет скорости налетающей тележки.

Таким образом, полный импульс налетающей тележки передается следующей и т. д.

Однако как объяснить отсутствие дисперсии в обычной цепочке шаров, в которой каждый шар в исходном положении соприкасается со своими соседями? В случае соответствующего эксперимента на «воздушной подушке» ответ на этот вопрос, очевидно, уже не является столь простым. Что же касается движения отдельных тележек сразу после столкновения, то оно не подчиняется какой-либо закономерности. Ясно, что тележки на демонстрационной скамье не могут служить хорошей моделью цепочки шаров. В чем же состоит принципиальное различие между цепочкой шаров и тележками? Может быть, инерционные и упругие свойства системы нельзя моделировать отдельно? Или тележки на воздушной подушке — слишком упрощенная модель цепочки шаров? Ответить на данные вопросы — это то же самое, что установить, почему у цепочки шаров отсутствует дисперсия.