задачи из банка с решен.№1-№14
.pdf
МИНИСТЕРСТВО МАГИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ОРГАНИЗАЦИЯ ОБЪЕДИННЫХ ОРГАНИЗОВАННЫХ ОБЪЕДИНЕНИЙ
КОМИТЕТ ПО СОЗДАНИЮ КОМИТЕТОВ КОМИССИЙ РАДИ КОМИССИЙ, НО ЧТОБЫ ВСЁ РАВНО ДАЛИ ОЧЕНЬ МНОГО ДЕНЕГ НЕ СПРАШИВАЯ НА ЧТО И ПОТОМ НЕ ТРЕБУЯ РЕЗУЛЬТАТОВ НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ, РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СОВМЕСТНО С ОТДЕЛОМ МЕДЛЕННОГО РЕАГИРОВАНИЯ, ПРЕДСТАВЛЯЕТ:
ЗАПРЕЩЕНО К ПРОСМОТРУ В ЛЮБОМ ВИДЕ ВСЕМ ЧЛЕНАМ ПРАВИТЕЛЬСТВА США И СТРАН НАТО!!!
Черкесск 2015
СОДЕРЖАНИЕ
Введение |
3 |
Прототипы заданий 1, 3, 7, 10 ("Алгебра") |
4 |
Прототипы заданий 6, 11, 13 ("Уравнения и неравенства") |
42 |
Прототипы заданий 2 ("Функции") |
67 |
Прототипы заданий 8, 14 ("Начала математического анализа") |
80 |
Прототипы заданий 4, 9, 12 ("Геометрия") |
95 |
Прототипы заданий 5 ("Комбинаторика") |
127 |
Заключение |
134 |
2
ВВЕДЕНИЕ
Вашему вниманию предлагается одна из худших методичек для подготовки к ЕГЭ по математике за всю историю.
Здесь рассмотрены все задачи из Открытого банка заданий ФИПИ, которые соответствуют первым четырнадцати примерам из КИМа профильного уровня 2015 года по математике.
Фактически, данный труд является переработанным, исправленным (но всё еще не идеальным) изданием предыдущих методичек, рискованно размещенных в интернете по адресу http://4ege.ru/matematika/5551-reshennye-zadaniya-ege-po-matematike-iz-otkrytogo- banka-fipi.html.
Данный сборник задач содержит подробные решения, служит для максимально быстрого ознакомления с разнообразными типами примеров из ЕГЭ по математике. При решении задач из Открытого банка было встречено достаточно большое количество интересных и неожиданных задач.
Материал скорее всего адресован тем абитуриентам, которые относились к математическому обучению в школе довольно холодно, до сегодняшнего момента в глаза не видели демоварианта ЕГЭ-2015 по математике, слыхать не слыхивали про тангенс угла наклона касательной, никогда в жизни не составляли математические модели, не пытались извлечь кубический корень из числа методом разложения на множители, не знают производных...
Думаю, что этот сборник будет полезен как первое чтение. Труд ни коем образом не претендует на звание "учебного пособия по математике", а скорее наоборот, он может быть в некотором смысле даже вредным, поскольку учит хитростям в решении задач. Методичка не учит разделам математики обстоятельно и полно, а лишь показывает методы и дает необходимый минимум теории для решения именно задач ЕГЭ.
Автор – Джендубаев Эдуард – выражает огромную благодарность всем людям, которые когда-либо читали любую из его методичек. Автор выражает неимоверно колоссальную сердечную благодарность всем, кто нашел любую из его методичек полезной и/или интересной.
3
ПРОТОТИПЫ ЗАДАНИЙ 1, 3, 7, 10 (АЛГЕБРА)
Начиная с конца страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/1?page=1 и до конца страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/1?page=23 примеры под номерами 14675, 14677, ..., 15119, 15121 (всего 224) абсолютно одинаковы по структуре.
В задании просят найти значение выражения вида
: ( |
) |
( |
) |
( |
, |
) |
, |
|
|
|
|||||
где все участвующие числа целые положительные, |
|
|
, , , |
0. |
|||
Здесь проверяются знания о степенях. Вот необходимый при решении минимум свойств:
( |
) |
: |
. |
Покажем решения лишь некоторых задач.
Задание №14675
Найдите значение выражения: 492 43 : 196. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
49 |
|
4 |
|
49 |
|
4 |
|
49 |
4 |
|
49 |
16 |
784. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
196 |
|
49 |
4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: 784. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание №14677 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдите значение выражения: 48 1110 : 448. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 |
11 |
4 |
11 |
11 |
|
|
44 |
11 |
121. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
44 |
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
44 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: 121. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание №14679 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдите значение выражения: 47 497 : 1966. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
49 |
|
196 |
|
196. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
196 |
|
196 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: 196.
Задание №14681 Найдите значение выражения: 38 411 : 127.
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
768. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
12 |
|
|
12 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 768.
Задание №14683 Найдите значение выражения: 499 312 : 1479.
49 |
3 |
49 |
3 |
3 |
147 |
3 |
3 |
27. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
147 |
|
|
147 |
|
147 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: 27.
4
Задание №14685 Найдите значение выражения: 99 77 : 636.
9 |
7 |
9 |
7 |
9 |
7 |
63 |
9 |
7 |
729 |
7 |
5103. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
63 |
|
|
63 |
|
|
|
|
63 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: 5103.
Задание №14687 Найдите значение выражения: 1110 98 : 998.
11 |
9 |
11 |
9 |
11 |
11 |
121. |
|
|
|
|
|
|
|
||
99 |
|
|
|
99 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 121.
Начиная со страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/1?page=24 и до конца страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/1?page=48 примеры под номерами 15123, 15125, ..., 15619, 15621 (всего 250) абсолютно одинаковы по структуре.
В задании просят найти значение выражения вида
( |
) ( |
) |
при некотором целом положительном х.
Здесь проверяется знание формулы сокращенного умножения, а именно разности квадратов, а также умение подставлять числа в простые формулы. Вот используемая во всех примерах формула:
( |
)( |
) |
. |
Задание №15123
Найдите значение выражения: (7x 13)(7x 13) 49x2+6x+22 при x=80.
(7 |
13)(7 |
13) |
49 |
6 |
22 |
49 |
169 |
49 |
6 |
22 |
6 |
147. |
Подставим требуемое значение х 80
6 80 147 480 147 333.
Ответ: 333.
Задание №15125
Найдите значение выражения: (9x 6)(9x 6) 81x2 6x+38 при x=100.
(9 |
6)(9 |
6) |
81 |
6 |
38 |
81 |
36 |
81 |
6 |
38 |
6 |
2. |
Подставим требуемое значение х 100
6 |
100 |
2 |
598. |
Ответ: –598.
5
Задание №15127
Найдите значение выражения: (5x 6)(5x 6) 25x2 8x 49 при x=70.
(5 |
6)(5 |
6) |
25 |
8 |
49 |
25 |
36 |
25 |
8 |
49 |
8 |
85. |
Подставим требуемое значение х 70
8 |
70 |
85 |
645. |
Ответ: –645.
Начиная со страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/1?page=49 и до начала страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/1?page=70 примеры под номерами 15623, 15625, ..., 16045, 16047 (всего 213) абсолютно одинаковы по структуре.
В задании просят найти значение выражения вида
.
Работа со степенями в этой серии задач не представляет никаких сложностей. Приведем решения некоторых задач.
Задание №15623 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите значение выражения: 3 |
3 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
3 |
3 |
243. |
|||||||||||||||||
Ответ: 243. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задание №15625 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдите значение выражения: 9 |
9 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
9 |
59049. |
||||||||||||
Ответ: 59049. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задание №15627 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдите значение выражения: 5 |
5 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
5 |
5 |
5. |
|||||||||||||||||||
Ответ: 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задание №15629 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдите значение выражения: 4 |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
|
|
4 |
4 |
256. |
|||||||||||||||||
Ответ: 256. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задание №15631 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдите значение выражения: 4 |
4 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
|
4 |
4 |
64. |
||||||||||||||||||
Ответ: 64. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||
Начиная с середины страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/1?page=70 и до середины страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/1?page=93 примеры под номерами 18287, 18289, ..., 18413, 18415 18439, 18441, ..., 18453, 18455 18479, 18481, ..., 18695, 18697 18743, 18745, ..., 18827, 18829 (всего 228) представляют собой задачи с текстовым условием, часто с таблицей или рисунком. Их много и они разные, поэтому сделаем побольше решений различных видов этих задач.
Задание №18287 Для транспортировки 5 тонн груза на 150 км можно воспользоваться услугами одной из трех
фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?
Перевозчик |
Стоимость перевозки одним автомобилем |
Грузоподъемность автомобилей |
(руб. на 10 км) |
(тонн) |
|
|
|
|
А |
90 |
1,8 |
|
|
|
Б |
120 |
2,4 |
|
|
|
В |
180 |
3,6 |
|
|
|
Считаем каждый вариант аккуратно и честно.
А: нам потребуется минимум 3 автомобиля для транспортировки 5 тонн, 3 1,8 5,4. Тогда полная стоимость будет 3 1,8 15 90 = 7290.
Б: нам потребуется минимум 3 автомобиля для транспортировки 5 тонн (потому что 2 2,4 = 4,8 < 5), 3 2,4 7,2. Тогда полная стоимость будет 3 2,4 15 120 = 12960.
В: нам потребуется минимум 2 автомобиля для транспортировки 5 тонн, 2 3,2 6,4. Тогда
полная стоимость будет 2 3,2 |
15 |
180 = 17280. |
|
|
|
||
Ответ: 7290. |
|
|
|
|
|
|
|
Задание №18307 |
|
|
|
|
|
||
Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
Тарифный план |
Абонентская плата |
|
Плата за трафик |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
План "0" |
Нет |
|
|
|
2,5 |
руб. за 1 |
Мб |
|
|
|
|
|
|||
План "500" |
570 |
руб. за 500 |
Мб трафика в месяц |
2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
План "800" |
721 |
руб. за 800 |
Мб трафика в месяц |
1,5 |
руб. за 1 |
Мб сверх 800 Мб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пользователь предполагает, что его трафик составит 650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 650 Мб?
План "0": 2,5 650 = 1625.
План "500": 570 2 (650 – 500) = 870.
План "800": 721.
7
Ответ: 721.
Задание №18329 Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяжённостью 200 км. В таблице
приведены характеристики трёх автомобилей и стоимость их аренды.
Автомобиль |
Топливо |
Расход топлива |
Арендная плата |
|
(л на 100 км) |
(руб. за 1 сутки) |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
А |
Дизельное |
5 |
3400 |
|
|
|
|
|
|
Б |
Бензин |
6 |
2200 |
|
|
|
|
|
|
В |
Газ |
9 |
2700 |
|
|
|
|
|
Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Цена дизельного топлива — 21 рубль за литр, бензина — 25 рублей за литр, газа — 14 рублей за литр. Сколько рублей заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешёвый вариант?
А: 3400 2 5 21 = 3610.
Б: 2200 2 6 25 = 2500.
В: 2700 2 9 14 = 2952.
Ответ: 2500.
Задание №18351 Строительный подрядчик планирует купить 5 тонн облицовочного кирпича у одного из трёх
поставщиков. Один кирпич весит 5 кг. Цена кирпича и условия доставки всей покупки приведены в таблице.
|
Цена |
Стоимость |
|
|
Поставщик |
кирпича |
доставки |
Специальные условия |
|
|
(руб. за шт) |
(руб.) |
|
|
|
|
|
|
|
А |
17 |
7000 |
Нет |
|
|
|
|
|
|
Б |
18 |
6000 |
Доставка бесплатно, если сумма заказа превышает |
|
50 000 руб. |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
В |
19 |
5000 |
Доставка со скидкой 50%, если сумма заказа |
|
превышает 60 000 руб. |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?
А: 17 (5000 : 5) + 7000 = 24000. |
|
|
|
Б: сначала считаем заказ без доставки. 18 |
(5000 : 5) |
18000, сумма не превысила 50000, |
|
значит доставка по полной цене. Окончательно 18000 6000 |
24000. |
||
В: сначала считаем заказ без доставки 19 |
(5000 : 5) |
19000, сумма не превысила 60000, |
|
значит доставка по полной цене. Окончательно 19000 |
5000 |
24000. |
|
Ответ: 24000.
8
Задание №18373
Из пункта A в пункт D ведут три дороги. Одновременно из пункта A в пункт D выехали
грузовик, |
автобус |
и легковой |
автомобиль. |
Грузовик едет |
через пункт B со |
средней |
скоростью 42 км/ч, |
автобус едет |
через пункт C со средней скоростью 60 км/ч. По |
третьей |
|||
дороге — |
без промежуточных |
пунктов — |
едет легковой |
автомобиль со |
средней |
|
скоростью 62 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние (в км) между пунктами по дорогам. Какое транспортное средство доберётся до D позже других? В ответе укажите, сколько часов оно будет находиться в пути.
Грузовик по дороге через В: (22 |
20) : 42 |
1. |
Автобус по дороге через С: (36 |
39) : 60 |
1,25. |
Легковой автомобиль по дороге без промежуточных пунктов: 93/62 3/2 1,5.
Ответ: 1,5.
Задание №18395 Для поездки длительностью 40 минут требуется заказать такси в одной из трёх фирм. В
таблице приведены тарифы этих фирм.
Фирма |
Подача |
Продолжительность |
и |
Стоимость |
1 минуты |
сверх |
стоимость |
|
продолжительности минимальной |
||||
такси |
машины |
|
||||
минимальной поездки |
|
поездки |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
А |
250 руб. |
Нет |
|
12 руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
Бесплатно |
20 мин. — 400 руб. |
|
16 руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
120 руб. |
5 мин. — 100 руб. |
|
13 руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ? А: 250 12 40 = 730.
Б: 400 16 (40 – 20) = 720.
В: 120 100 13 (40 – 5) = 675.
Ответ: 675.
Задание №18439 Для того, чтобы связать свитер, хозяйке нужно 400 граммов шерстяной пряжи синего цвета.
Можно купить синюю пряжу по цене 60 рублей за 50 граммов, а можно купить неокрашенную пряжу по цене 50 рублей за 50 граммов и окрасить её. Один пакетик краски стоит 10 рублей и рассчитан на окраску 200 граммов пряжи. Какой вариант покупки дешевле? В ответ напишите, сколько рублей будет стоить эта покупка.
Синяя пряжа: 60 (400 : 50) = 480.
9
Неокрашенная пряжа: 50 (400 : 50) + 10 (400 : 200) = 420.
Ответ: 420.
Задание №18765 Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из
скидок. Либо скидку 25% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо скидку 5% на звонки в другие регионы, либо скидку 15% на услуги мобильного интернета.
Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 300 рублей на звонки абонентам других компаний в своём регионе, 200 рублей на звонки в другие регионы и 400 рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем объёме?
25% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе: 300 0,25 = 75.
5% на звонки в другие регионы: 200 0,05 = 10.
15% на услуги мобильного интернета: 400 0,15 = 60.
Ответ: 75.
Начиная с середины страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/1?page=93 и до середины страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/1?page=103 под номерами 19129, 19131, ..., 19177 19639, 19641, ..., 19661; 19899, 19901, ..., 19951; 19979, 19981,
..., 20051 (всего 101) представлены задачи на решение треугольника, а именно применение теоремы Пифагора, теоремы косинусов, знание определений синуса, косинуса, тангенса угла треугольника. Хоть эти задачи и чисто вычислительные (иначе они не попали бы в раздел Алгебра), геометрия таких примеров у человека неподготовленного всегда вызовет трудности. Мне бы очень хотелось решать эти задачи безо всяких рисунков, но боюсь без них многие не поймут
Задание №19129
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AC=25, AH 15. Найдите cos B.
Известно, что
|
, |
|
. |
|
2 |
2 |
|||
|
|
Таким образом, искомый косинус В равен синусу А.
Синусом угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета треугольника к гипотенузе.
A
H
B
С
Косинусом угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
A |
|
|
. |
|
A |
||||
|
|
|||
|
10 |
|
||