задачи из банка с решен.№1-№14

Структура этого раздела довольно жуткая, поэтому я в этот раз поленился – не стану писать на какой странице какие номера, но номера выпишу.

88D94E, A08226, A80371, B51D68, B5D33E, CB481B, D39993, F03E8A, FC9F8C.

Всего по номерам 1698 задач, также была встречена 1 ранее отложенная задача с номером 315127, но аналогичные ей задачи будут обязательно решены.

Итого 1699.

Моя ошибка составила

Обидно конечно, какой-то номер упустил, но будем надеяться, что это не повлечет за собой катастрофических последствий.

Задание №016347

Сначала берем производную.

3 12 9.

Теперь решаем уравнение

Производная меняет знак с на - в точке х=–3 (значит функция сменила характер своего изменения с возрастания на убывание – график преодолел вершину горки и начал спускаться),

там может быть максимум, а мы ищем минимум.

Производная меняет знак с - на в точке х=–1 (значит функция сменила характер своего изменения с убывания на возрастание – график начал подниматься со дна впадинки), там может быть то, что нам нужно – минимум.

Осталось только подставить числа –1 и 0 в выражение для функции и посмотреть, какое будет меньше.

Вообще говоря, алгоритм поиска минимума говорит, что надо проверять и точки на концах отрезка, но поскольку точка –3 – точка предполагаемого максимума – совпала с одним из концов, мы её не проверяем.

81

Ответ: 17.

Задание №079965

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Для решения этой задачи надо знать, что такое

уравнение прямой, тангенс угла наклона касательной,

уравнение касательной и то, что угол наклона прямой отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки.

Уравнение прямой , где k – тангенс угла наклона прямой (еще коэффициент при х называют угловым). Да-да, это число перед икс есть ничто иное, как тангенс угла наклона прямой.

Уравнение касательной ( ) ( ) ( ) к графику функции f(x) в точке х0. Здесь все, кроме икса

– числа. Если раскрыть скобки, видно, что значение производной в точке х0 есть коэффициент при икс – тангенс угла наклона касательной.

( ) ( ) ( ) .

Выходит, что тангенс угла наклона касательной есть ничто иное, как значение производной функции в точке, к которой эта касательная проведена – это то, что нам как раз и нужно.

Напоминаю, что тангенсом угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему.

Если читатель еще не бросил это дело, то осталось просто посмотреть на указующие жирные точки.

Видно, что угол наклона нашей касательной – тупой, как находить его тангенс не понятно, зато все мы понимаем, что он будет отрицательным (на это указывает и то, что прямая не растет, а убывает – значит коэффициент при икс в её уравнении отрицательный).

А вот тангенс смежного с ним угла (который обязательно будет острым) найти легко и просто

– жирные точки так и указывают на подходящий прямоугольный треугольник.

Итак, тангенс смежного (с углом наклона касательной) угла равен 1/5 0,2, тогда искомая величина будет –0,2.

Ответ: –0,2.

Задание №119971

На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале ( 5 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

82

Мы уже знаем, что значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Как выглядит прямая, тангенс угла наклона которой равен 0? Очевидно, что это простонапросто горизонтальная линия, параллельная оси Ох – т.е. имеющая угол наклона к ней, равный 0 градусов.

Теперь смотрим на рисунок. К скольким точкам графика можно провести горизонтальную касательную? Да это же просто точки

экстремума! Или вершины горок, или донышки впадинок!

Горок и впадинок в сумме 4, это и ответ.

Ответ: 4.

Задание №119972

Прямая y=3x+1 является касательной к графику функции ax2+2x 3. Найдите a.

Задача выглядит жутко, непонятно что с ней делать. Будем анализировать, что у нас есть.

Коэффициент при икс в уравнении касательной равен 3, значит значение производной функции в точке касания х0 равно 3. Можем записать первое уравнение, взяв производную от данной функции

Вспоминаем другую версию уравнения касательной

и сравниваем его с имеющимся уравнением. Можем записать второе уравнение

Два уравнения образуют систему, которая позволит найти а.

Ответ: 0,375.

Задание №119973

Прямая y 5x+8 является касательной к графику функции 28x2+bx 15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Если х0 – точка касания, то пользуясь формулой

можем записать систему уравнений

83

Советую выразить b из обоих уравнений, затем приравнять. Получим 2 значения х, одно из которых меньше нуля и по условию не подходит. Остается х 0,5. Тогда b= –33.

Ответ: –33.

Задание №119974

Прямая y=3x+4 является касательной к графику функции 3x2 3x+c. Найдите c. Если х0 – точка касания, то пользуясь формулой

откуда сразу находим х0=1, с=7.

Ответ: 7.

Задание №119975

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=6t2 48t 17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9 с.

Даже если не знать, что функция скорости есть производная функции расстояния, чувствуется, что в такой задаче надо брать производную.

Символ взятия производной по времени в литературе обозначается точкой над функцией, от которой берется производная.

Остается в полученную формулу подставить 9.

Ответ: 60.

Задание №119978

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t2 13t 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Задача по идее аналогична предыдущей.

Подставляем указанное значение скорости и находим t.

Ответ: 8.

Задание №1F1 E

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (  9  5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

84

Если кто дочитал до этого места, он или она точно знает, что производная обращается в ноль в точках экстремума, в точках экстремума функция меняет характер своего изменения с возрастания на убывание или наоборот, и то что точка экстремума это попростому вершина горки или дно впадинки.

Всего горок и впадинок в сумме

9.

Ответ: 9.

Теперь приравниваем её к нулю, находим х= –2.

Можно было заметить, что корень квадратный из выражения тем больше, чем больше само подкоренное выражение (почитайте про слово монотонность) и находить точку максимума подкоренного выражения, она тоже х=–2.

Не в первый раз я толкаю своих читателей на скользкую дорожку.

Согласно алгоритму поиска максимума или минимума функции, надо честно брать производную, приравнивать её к нулю, находить корни получившегося уравнения, подставлять их в функцию и смотреть, какие значения получились. Если еще задан отрезок, то и границы отрезка также обязательно подвергаются рассмотрению.

Но тут же страшный логарифм, многие не помнят его производной. Но благодаря монотонности логарифмической функции, мы можем для ответа на вопрос задачи найти точку максимума лишь для выражения под знаком логарифма.

Ну уж с такой задачей справятся все, находим производную выражения под знаком логарифма, приравниваем её к нулю, находим х=1.

Всё-таки давайте честно посчитаем производную предложенной функции.

Приравнивая честно полученную производную к нулю, получаем тот же самый ответ.

Да-да, снова можно считать только производную показателя, потому что показательная функция тоже монотонна. И сразу ясно, что ответ 3.

Считаем производную

Приравниваем её к нулю, первый множитель в ноль не обращается ни при каком х, второй множитель просто число.

Хитрость может помочь нам и в этот раз. Здесь говорить о монотонности показательной функции не подойдет. Здесь подойдет знание того, что ответом на подобное задание должно служит число со знаком или без, записанное в десятичной форме и конечным числом знаков после запятой.

Теперь взглянем на задачу. Даже если мы гипотетически нашли х, нам нужно подставлять его в исходную функцию чтобы ответить непосредственно на вопрос задачи. Понимая это, надо позаботиться о том, чтобы получаемое число было красивым – здесь это достигается при 8, когда левый множитель обращается в ноль, а вместе с ним и всё выражение, или при 7, когда показатель степени с натуральным основанием обращается в ноль – единственный случай, когда правый множитель становится красивым числом, а всё выражение равняется –1.

Из двух вариантов число –1 меньше нуля, оно и уходит в ответ.

На указанном в условии отрезке из полученной серии корней присутствует только число .

Подставляем полученное число в функцию, а также концы указанного отрезка.

Не надо даже сомневаться в том, что из полученных чисел 12 наибольшее, хотя бы потому, что оно единственное может быть записано в качестве ответа.

Ответ: 12.

Задание №27487

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале ( 6 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Производная функции положительна там, где функция возрастает и отрицательна там, где функция убывает.

–2, –1, 5, 6 – целочисленные абсциссы точек возрастания функции, всего их 4.

Ответ: 4.

Задание №27488

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале ( 5 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.

Нас интересуют целочисленные абсциссы точек убывания функции, вернее их количество.

–4, –3, –2, –1, 0, 1, 3, 4 – целочисленные абсциссы точек убывания функции, всего 8.

Ответ: 8.

87

Задание №27489

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале ( 5 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6 или совпадает с ней.

Мы уже знаем, что горизонтальные касательные (а у=6 именно такой и является) можно провести только к точкам экстремума – вершинам горок или

донышкам впадинок.

На отрезке производная меняет знак с плюса на минус в точке –3 (и больше нигде), входящей в указанный отрезок. А значит в ней функция меняет характер своего изменения с возрастания на убывание. Таким образом, –3 есть точка максимума функции.

Ответ: –3.

88

Задание №27494

На рисунке изображен график y=f (x) — производной функции f(x),

Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [ 6 9].

На указанном отрезке лишь в точке х=7 производная меняет знак с

плюса на минус, а значит в этой точке есть максимум функции.

Ответ: 1.

Задание №27503

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ранее в этой методичке мы подробно разбирали метод решения подобной задачи.

Как всегда в такой задаче, жирные точки указывают нам на подходящий для вычисления тангенса прямоугольный треугольник.

А тангенс угла наклона касательной в точке х0 и есть значение производной в этой точке.

Считаем по клеточкам, 6/3 2.

Ответ: 2.

Задание №317539

На рисунке изображён график функции y=f (x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x8. В скольких из этих точек производная функции f (x) положительна?

Производная функции положительна там, где функция возрастает.

х1, х2, х5, х6 (приглядитесь), х7, всего точек 5.

Ответ: 5.

89

Задание №317542

На рисунке изображён график y=f (x) — производной функции f (x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x1, x2, x3, …, x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции f(x)?

А вот здесь обратная задача. Функция убывает там, где её производная отрицательна.

х1, х2, х3, х4, х8 – абсциссы точек, значениям которых соответствуют отрицательные значения производной.

Ответ: 5.

Задание №317543

На рисунке изображен график функции y=f (x) и отмечены точки 2, 1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Понятное дело, что точки убывания из рассмотрения исключаем, потому что в них производная отрицательна.

Остаются точки –2 и 2.

Мы с вами знаем, что в точках экстремума производная равна нулю. Можно сказать, что вблизи точек экстремума производная близка к нулю.

Среди рассматриваемых точек ближе к донышку впадинки – к точке экстремума – находится всё-таки точка х 2, а значит производная в этой точке находится близко к нулю.

Точка х=–2 в свою очередь уже достаточно различимо отдалилась от донышка впадинки, поэтому считаю, что значение производной в ней больше, чем в точке 2.

Ответ: –2.

90