II. Столкновение двух шаров

Рассмотрим прежде всего простейший эксперимент, в котором изучается центральное упругое столкновение двух одинаковых шаров, один из которых является налетающим, а другой покоится. В этом случае дисперсия в принципе отсутствует и результат эксперимента полностью определяется законами сохранения импульса и энергии. Поэтому, экспериментируя с тележками, мы наблюдаем то же, что и в случае шаров: налетающее тело после столкновения останавливается, а покоящееся тело (мишень) начинает двигаться со скоростью, которую имело налетающее тело. Теория упругих столкновений двух тел с учетом деформаций была развита Г. Герцем [2—4] в 1881 г. Герц вычислил деформацию двух упругих тел с выпуклыми поверхностями как функцию степени их сжатия при контакте друг с другом, а затем применил полученные им результаты к решению задачи о столкновении двух тел. В частности, Герц вычислил время столкновения, т. е. интервал между моментом времени, когда между шарами образуется контакт, и моментом времени, когда происходит их разделение, как функцию скорости налетающего шара. В нашем рассмотрении вопроса о столкновениях шаров мы воспользуемся следующими существенными для нас результатами, полученными из работы Герца:

Рис. 2. Зависимость силы F от деформации х в одномерном случае для стального шара диаметром 5 см согласно теории Герца (сплошная кривая). Штриховая линия — аппроксимация этой кривой двумя прямыми линиями.

В непосредственной близости от контакта механическое напряжение значительно выше, чем в остальных частях шара. Поэтому при столкновениях упругие и инерционные свойства можно рассматривать пространственно разделенными. Вблизи контакта вещество, из которого изготовлен шар, действует как пружина. В этой области шар, деформируясь, может запасать энергию. Остальную же часть шара можно рассматривать как недеформируемое массивное тело, в котором энергия может запасаться только за счет накопления импульса.

Другое принципиальное различие между системами шаров и тележками на воздушной подушке состоит в том, что «пружины» в том и другом случаях ведут себя по-разному. В случае тележек пружины представляют собой обычные пружины, подчиняющиеся закону Гука:

F = kx, (1)

где F — сила растяжения или сжатия, х— смещение упругой системы из своего положения равновесия, а k — упругая постоянная пружины. При соприкосновении же шаров пружины подчиняются другому закону (рис. 2):

F = k’x^3/2 (2)

в дальнейшем будем называть это соотношение «законом Герца».

Особый интерес для нас представляют наклоны кривых, описываемых выражениями (1) и (2), или соответствующие производные. Для закона Гука (1) наклон имеет одно и то же значение при всех х, в том числе и при х=0; он соответствует «жесткости» пружины. В случае закона Герца (2) наклон имеет разные значения для различных х; в частности, он равен нулю при х = 0 и возрастает с ростом х: по мере сжатия пружина становится как бы все более жесткой. Тогда закон Герца можно было бы аппроксимировать двумя прямыми линиями, как это показано на рис. 2. Однако в точности такой же вид имеет выражение для силы, действующей между пружинами бамперов в эксперименте с тележками, не находящимися первоначально в соприкосновении. Горизонтальный отрезок соответствует зазору между тележками, а линейно возрастающая часть — закону Гука для пружинных бамперов. Отсюда можно сделать вывод, что в системе с пружинами Герца дисперсия является более слабой, чем в системе с пружинами Гука.

Достаточно ли описанного уменьшения дисперсии для объяснения результатов эксперимента по столкновению шаров? На данный вопрос можно было бы ответить, выполнив соответствующие численные расчеты. Для этого с помощью ЭВМ нами проведены различные численные эксперименты по столкновению (более подробно мы опишем это в разд. III). Такой численный эксперимент позволяет произвольно изменять параметры системы и изучать последствия такого изменения.