Б) Цилиндр из ферромагнитного материала, имеющий на поверхности слой, нагретый до температуры выше температуры магнитных превращений

При решении электромагнитной задачи для цилиндра из ферромагнитного материала, имеющего на поверхности слой (индекс «к» означает нагретый до температуры выше точки Кюри), у которого =1, если поверхностный эффект ярко выражен ( ), могут быть использованы результаты, полученные в работах [1, 3] для полубесконечной среды, на поверхности которой слой глубиной нагрет до температуры выше температуры магнитных превращений ( =1).

При расчете параметров электромагнитного поля в системе индуктор – цилиндр из ферромагнитного материала, имеющий на поверхности слой, нагретый до температуры выше точки Кюри, все параметры для первого слоя цилиндра, где =1, обозначены с индексами «21» ( , , и т.д.), что означает первый слой (индекс «1») цилиндра (индекс «2»), а для второго слоя — с индексами «22» ( , , и т.д.), что означает второй слой (индекс «2») цилиндра (индекс «2»).

Тогда отношения напряженностей магнитного и электрического полей, а также плотности тока в любой точке первой среды к значению этих величин на поверхности цилиндра имеет вид [1, 3]:

,

где , , — комплексные значения амплитуд напряженностей магнитного, электрического полей и плотности тока внутри первого слоя глубиной ( =1) на расстоянии от поверхности цилиндра; , , — комплексные значения амплитуд напряженностей магнитного и электрического полей и плотности тока на поверхности цилиндра; параметр ; — глубина проникновения тока в материал цилиндра (индекс «2») в первом слое (индекс «1»), т.е. для параметров среды =1 и первого слоя (  — величина расчетная, чисто условная, т.к. толщина первого слоя , нагретого до температуры выше температуры магнитных превращений, меньше : < ), определяется по формуле:

,

— коэффициент, учитывающий изменение параметров и на границе первого и второго слоя; определяется по формуле:

,

где — параметр для второго слоя, определяемый по формуле:

,

и — магнитная проницаемость и электропроводность второго слоя цилиндра.

После подстановки выражений для и в формулу получаем:

.

При и =1 формула упрощается:

.

Из формулы полезно также получить выражение для :

.

Модули отношений параметров электромагнитного поля, приведенных в формуле , равны:

.

Распределение напряженностей магнитного и электрического полей, а также плотности тока во втором слое описываются выражениями –.

На Рис. 1 .5 приведены распределения плотности тока по сечению, которые справедливы для двух сред плоского нагреваемого предмета и цилиндра при ярко выраженном поверхностном эффекте для трех различных глубин нагрева: кривые 1 и 2 для первой среды рассчитаны по формуле , кривая — 3 по формуле без учета влияния второй среды. Распределение тока во второй среде построены по формуле в предположении, что и .

Из Рис. 1 .5 видно, что наличие второй среды оказывает значительное влияние на распределение плотности тока в нагреваемом слое (сравн. кривые 1,2 и кривую 3, рассчитанную без учета второй среды).

Влияет наличие второй среды и на полное электрическое сопротивление двухслойной среды. Полное электрическое сопротивление элемента длиной , шириной и глубиной много больше на поверхности двухслойной среды:

,

где и — комплексное значение и модуль полного электрического сопротивления первой среды в предположении, что , т.е. первая среда занимает все пространство и вторая среда отсутствует; определяются по формулам:

и ;

и — комплексное значение и модуль параметра, учитывающего влияние второй среды (при =1); — угол, на который напряженность магнитного поля в первом слое двухслойной среды отстает от напряженности электрического поля (при ).

Рис. 1.5. Распределение плотности тока по сечению нагреваемого предмета: а) — ; б) — ; в) — (1 — ; 2 — ; 3 — не учтено влияние второй среды, обладающей магнитными свойствами)

Параметр определяется выражением

и

.

При =4·10^–7 Гн/м и =10^–6 Ом·м получим:

,

, .

После этого получим для цилиндра диаметром и длиной :

,

.

Для того, чтобы определить параметры , и , необходимо определить напряженность магнитного поля на поверхности среды. Воспользуемся формулой и определим удельную мощность, отнесенную к площади поверхности цилиндра.

Вначале определим мощность, выделяемую в детали. По закону Джоуля–Ленца она равна:

.

Ток, протекающий в цилиндре, может быть связан с напряженностью магнитного поля на его поверхности с помощью закона полного тока:

.

Тогда:

.

Тогда удельная мощность, отнесенная к площади поверхности цилиндра, будет равна:

.

Отсюда:

.

Затем, задаваясь несколькими значениями , а значит и на поверхности второй среды, определяем по табл. П.3–П6 Приложения значения , и и затем напряженность магнитного поля на поверхности второй среды ( ) и (табл. П.7). Затем на графике и определяем точку, где и для определенного значения определяем и затем параметры , и , что позволяет определить активное и реактивное сопротивления ферромагнитного цилиндра, имеющего на поверхности слой глубиной , нагретый до температуры выше температуры магнитных превращений по формулам и .

Полученное распределение плотности тока для двухслойной среды (Рис. 1 .5) может быть заменено для теплового расчета более простым — постоянным в слое, глубина которого равна:

,

,

, и зависят от и относительной магнитной проницаемости на границе двух сред.

1.2.3.Распределение параметров электромагнитного поля в цилиндре при не ярко выраженном поверхностном эффекте (0,1R₂ < ₂ < 0,4R₂)

При сквозном нагреве под пластическую деформацию все сечение должно быть прогрето до температуры 900–1250 °С, в связи с чем в конечной стадии нагрева весь металл становится немагнитным.

Для того, чтобы обеспечить равномерный и быстрый нагрев, частоту приходится выбирать таким образом, чтобы горячая глубина проникновения тока была сравнительно близка к радиусу нагреваемого цилиндра. Поэтому при сквозном нагреве поверхностный эффект нельзя считать ярко выраженным, а электромагнитную волну плоской, как это делалось нами при рассмотрении поверхностной закалки.

В работе [3] (гл. 5, стр. 189–195) рассмотрены электромагнитные процессы и определены распределения напряженностей магнитного ( ) и электрического ( ) поля и плотности тока ( ) в цилиндре при не ярко выраженном поверхностном эффекте. Они имеют следующий вид:

,

,

.

Так как , а , то выражения – можно представить в виде:

,

,

.

Здесь — относительная координата точки в нагреваемом цилиндре, в которой определяются , , ; — радиальная координата этой точки ( ); — относительная координата точки на поверхности цилиндра ( ), определяется по формуле:

,

Рис. 1.6. Распределение плотности тока по сечению металлического цилиндра

— глубина проникновения тока в полуограниченное металлическое тело с плоской поверхностью или в материал цилиндра при ярко выраженном поверхностном эффекте ); и — символы функций Бесселя первого рода нулевого и первого порядков.

Функции , , , позволяют разделить вещественные и мнимые величины комплексных функций и .

На Рис. 1 .6 приведено распределение плотности тока по сечению цилиндра при различных значениях . Из кривых видно, что уже при , что соответствует , зависимость близка к линейной. При этом и напряженность магнитного поля почти постоянна.

При (высокая частота):

.

Рис. 1.7. Обозначения радиальных координат

Тогда при ( ), учитывая, что (Рис. 1 .7), получаем:

,

.

При , т.е. при (низкая частота):

и .

Тогда: и

.

Таким образом, для напряженность магнитного поля приблизительно постоянна по всему сечению, а плотность тока уменьшается от до нуля при R = 0 по линейному закону.

Ток, наведенный в металлическом цилиндре, нагревает его. Распределение температуры в цилиндре зависит от распределения плотности тока, т.е. от распределения в цилиндре источников тепла.

Электрическое сопротивление цилиндра диаметром и длиной (при ) равно [1, 3]:

,

,

где — коэффициент, учитывающий изменение активного сопротивления цилиндра при не ярко выраженном поверхностном эффекте; определяется по формуле:

,

— коэффициент, учитывающий изменение внутреннего индуктивного сопротивления цилиндра при не ярко выраженном поверхностном эффекте; определяется по формуле:

.

Выражения и можно записать в более удобном виде:

,

,

где и — коэффициенты, учитывающие степень проявления поверхностного эффекта (при ярко выраженном поверхностном эффекте и равны 1), они определяются по формулам:

, .

Значения коэффициентов и приведены в табл. П.9.