7.1. Нормальный закон распределения. Критерии согласия с.64

Большинство социально-экономических массовых явлений и процессов, изучаемых с помощью ранжированных рядов распределения, подчиняются нормальному закону распределения. При нормальном распределении, с увеличением величины изучаемого признака единиц статистической совокупности, соответствующие им частоты вначале возрастают до некоторой максимальной величины и затем убывают, асимптотически приближаясь к минимальным значения относительно их симметричного начального значения (рис.5.4).

Рис.7.1. График нормального закона распределения (у_t). Для симметричного распределения М_о = х_ср

Примечание: у_t – ордината (частота) кривой нормального распределения; t – нормальное отклонение, характеризующее величину доверительного интервала с определенной вероятностью.

Для теоретической симметричной кривой нормального распределения всегда величины средней х_ср, моды (Мо) и медианы (Ме) равны между собой (М_о = х_ср = М_е), т.е. принадлежат одной и той же варианте, которая расположена в середине ряда - в центре распределения с общей вершиной одновершинной симметричной колоколообразной кривой (рис.5.4).

Замена ломаной эмпирической линии фактического распределения его теоретическим аналогом - функциональной кривой распределения, имеющей аналитическое выражение (формулу), представляет собой процесс сглаживания или функционального выравнивания (аппроксимации, замены), связанного с возникновением отклонений и ошибок аппроксимации, для учета которых используются различные критерии согласия (К. Пирсона, А.Н.Колмогорова, В.И. Романовского и др.) и методы оценки характера, величины, направления отличий и асимметричности аналоговой кривой.

Асимметричность вершины (отклонение фактического распределения и его аналоговой модели относительно симметричного в теоретическом распределении) оценивается сравнением величины средней с величиной моды или медианы в аналоговой кривой путем расчета коэффициента асимметрии As (м_о ) = (х_ср - М_о ) / σ или As (м_е ) = (х_ср – М_е ) / σ. Для асимметричного нормального распределения М_о, х_ср и М_е не равны между собой. При М_о < х_ср смещение положительно (As>0) и вершина распределения (мода) смещена влево (на графике средняя справа от моды), при этом правая часть распределения больше левой. Такая асимметрия является (и называется) правосторонней. При х_ср < М_о смещение имеет отрицательное значение (As<0) и вершина распределения (мода) смещена влево (на графике средняя слева от моды). При этом левая часть распределения больше правой. Такая асимметрия является левосторонней. При As / σ >3 асимметрия признается существенной с несимметричным распрелделением изучаемого признака в генеральной совокупности.

Согласно теории нормального распределения теоретическая типовая кривая распределения (см. рис. 5.1, у_тt^т) имеет характеристические точки перегиба, которым соответствуют значения стандартного отклонения и среднего квадратического (стандартного) отклонения σ (t = 1 или tσ = ; t = 2 или tσ = ; t = 3или tσ = ) и вероятности этих отклонений (Р_{t = 1} = 0,683; Р_{t = 2} = 0,954; Р_{t = 3} = 0,997). В условиях нормального распределения имеет место взаимосвязь между значениями t, σ, Р_t и количеством единиц совокупности в пределах кратных значений tσ. При t = 1 и P_t = 0,683 в пределах х_ср располагается 0,683 или 68,3% общего количества единиц статистической совокупности исследуемого массового явления. Соответственно, при t = 2 и P_t = 0,954 в пределах х_ср располагается 0,954 или 95,4%,а при t = 3 и P_t = 0,997 в пределах х_ср располагается 0,997 или 99,7% общего числа единиц совокупности.

Использование теоретических кривых нормального распределения позволяет осуществлять моделирование, сравнение, анализ, прогнозирование и планирование социально-экономических показателей хозяйственной деятельности.

Рис. 7.2. Ассиметричное распределение: а) при As>0 - правосторонняя асимметрия, б) при As<0 - левосторонняя асимметрия.

ЗАДАЧА 7.1. Расчет параметров нормального распределения и показателей критериев согласия.

Дано: Имеются данные статистического наблюдения о распределении численности рабочих (f_i) предприятия (n = 74 чел) по величине фонда средней заработной платы Фот: х_i = 3-17 тыс. руб. (х_{i мин} = 3, х_{i мин} = 17).

Необходимо: Построить интервальный ряд и групповую таблицу распределения. Определить теоретическое выражение (аналитическую формулу), характеризующее закономерность распределения численности рабочих по уровню заработной платы. Проверить гипотезу о том, что данное распределение подчиняется нормальному закону распределения:

- функция нормального распределения,

где π и ℮ - математические константы.

На основе критериев согласия для вывода о сходимости эмпирической и теоретической линий кривой распределения, подтвердить или отвергнуть принятую гипотезу о характере данного распределения. В качестве критериев использовать критерии согласия К.Пирсона (хи-квадрат при χ² _расч < χ² _табл ), В.И. Романовского (при К_{р χ} < 3), А.Н. Колмогорова (при λ_расч < λ_табл ), сравнивая их с уровнем, определяющим область достоверности и значимости (типичности) полученных путем расчета параметров распределения.

Критерии согласия это специфические показатели для характеристики рядов распределения, позволяющие определить случайность (несущественность при допустимом значении принятого критерия согласия) или неслучайность (существенность при превышении допустимого значения критерия) расхождения эмпирической и теоретической кривых в рядах распределения изучаемых массовых явлений и процессов.

Для наглядности подтверждения о сходимости эмпирической и теоретической линий кривой распределения, нужно построить по фактическим данным график эмпирической зависимости (координаты х_i и f_i в таблице 15.3) в виде ломаной линии, по характеру которой высказывается гипотеза о законе данного распределения. Для сравнения и анализа построить график нормального распределения по дискретным значениям расчетных теоретических частот в виде ломаной линии (f_{i о}^т ), по которой можно построить плавную линию теоретического нормального распределения (у_t).

Теоретической кривой распределения называется линия, которой заменяют ломаную линию на графике фактического распределения, и аналитическое выражение (формула) которой и форма ее на графике отражают закономерность изучаемого (реально существующего) процесса распределения по частотной характеристике в «чистом виде» без учета влияния совокупности случайных факторов.

Решение: Расчет параметров нормального распределения.

Размах вариации признака (уровень оплаты труда рабочих по группам оплаты) R_в = х_max – х_min = 17 – 3 = 14 млн. руб.

Оптимальное количество групп (формула Стерджесса):

к_гр.опт = 1 + 3.32 * lg n; lg 74 = 1,9; к_гр = 1 + 3.32 * 1.9 = 7.31;

принимаем к_гр = 7. Величина группового интервала:

и_гр = R_в /к_гр = 14/7 =2 тыс. руб.

Величины нижней и верхней границ первого интервала интервального ряда распределения составляют х_min1 = 3, х_max1 = х_min1 + и_гр = 3 + 2 =5 и т.д. по всем интервальным группа. Данные расчета сведены в таблицу 7.1.

Таблица 7.1. Группы рабочих (f_i) по уровню заработной платы (Фот)

Фот, хi	3-5	5-7	7-9	9-11	11-13	13-15	15-17	Итого
fi	5	8	11	23	16	7	4	74
№ п\п	1	2	3	4	5	6	7	8

(для вариантного решения задачи Кв = (N_сп +10) /10; f^в_i = f_i +Кв в гр.3; значение частот округлить до целого)

Критерий согласия К.Пирсона: χ² _расч = Σ (f_i - f_{i о}^т )² / f_{i о}^т ;

χ² _расч < χ² _табл (при n > 50).

Критерий согласия В.И. Романовского на основе критерия Пирсона

К_{р χ} = [χ² - (m – 3)] / ] < 3 (m – 3 – по характеру и условиям решаемой задачи; m =7 – число групп рабочих).

Критерий согласия А.Н.Колмогорова: l_к = D_max / (D_max – максимальное различие накопленных эмпирических и теоретических частот; n = Σ f_i - сумма эмпирических частот; для уровня значимости α = 0,05 и n = 80 (74); l_{к табл} = 1,015 [5, c. 386])

Для расчета χ² _расч необходимо построить таблицу 12.2.

Теретическое значение частот для критерия согласия Пирсона определяется по фармуле

f_i ^т = [(n* и_гр ) / σ ] * [ ];

t_i = (х_i - х_{i ср} ) / σ – величина нормированного (стандартного) отклонения (доверительного интервала) кривой нормального распределения;

основание натуральных логарифмов (экспонента) ℮ и число π – постоянные математические величины.

х_{i ср} определяется как средняя арифметическая взвешенная

х_{i ср} = Σ (х_i f_i ) / Σ f_i =-740 / 74 =10 тыс руб.

Среднее квадратической отклонение

σ = = = =2,99, принимаем σ=3.

Постоянный множитель К_f :

К_f = (n* и_гр ) / σ = (74 * 2) / 3 =49,3;

и_гр = 2 величина группового интервала (см. гр. 2).

Таблица 7.2. Расчет теоретических частот нормального распределения (ты сруб.)

№ п\п	хi	fi	хi ц	хi ц *fi	ti	yt	fi т	fi от	fi - fi от	(fi - fi от )2 / fi от
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	3-5	5	4	20	- 2,0	0,0540	2,66	3	2	1,33
2	5-7	8	6	48	-1,33	0,1647	8,12	8	0	0
3	9-7	11	8	88	-0,66	0.3209	15,82	16	5	1,56
4	9-11	23	10	230	0	0,3989	19,67	19	4	0,84
5	11-13	16	12	192	0,66	0,3209	15,82	16	0	0
6	13-15	7	14	98	1,33	0.1647	8,12	8	1	0,13
7	15-17	4	16	64	2	0,0540	2,66	3	1	0,33
-	Итого	74	-	740	-	-	-	73	-	4,19

Примечание: Значения в графах 3 и 9 имеют расхождение (74 и 73) в связи с округлениями f_i ^т.

Ф_t (y_t) = кривая нормального распределения Лапласа-Гауса.

Значения функции Ф_t в зависимости от расчетных величин t_i выбираются по таблице [3 , с. 320].

По таблице распределения Пирсона [3, с. 321] для числа степеней свободы к_св = m -3 = 4 ( m = 7 – число интервалов) и вероятности Р = 0,95 (коэффициенте значимости α = 0,05) χ²_табл = 9,5.

По таблице 5.4. (гр. 11) χ² _расч = Σ (f_i -f_{i о}^т)² / f_{i о}^т = 4,19,

Следовательно, условие по критерию согласия К. Пирсона выполняется χ² _расч = 4,19 < χ² _табл = 9,5_. Принятая гипотеза о нормальном распределении исследуемой зависимости не отвергается (признается).

По критерию согласия В.И. Романовского:

К_{р χ} = [χ² _расч - (m – 3)] / ] = [4,19 - (7 – 3)] / )] =

= 0,19 / = 0,19 / 2,83 = 0,067; К_{р χ} = 0,067 < 3.

Условие по критерию согласия В.И. Романовского выполняется, что подтверждает гипотезу о нармальном законе рспределения изучаемой зависимости.

Для определения критерия согласия Колмогорова расчет разностей накопленных частот (кумулят) приведен в таблице 5.5.

Таблица 7.3. Расчет накопленных частот (кумулят) распределения

эмпирич. S fi	5	13	24	47	63	70	74
тоеретич.S fi т	3	11	27	46	62	70	73
D= S fi - S fi т	2	2	3	1	1	0	1

D_max = 3; l= D_max / = 3 / = 3 / 8,6 = 0,35;

l _расч = 0,35 < l _табл = 1,015.

Рис. 7.3. Эмпирическое (пунктирная линия по f_i) и теоретическое (сплошная линия по f_{i о}^т) нормальное распределение (разрыв оси 0-х условный)

Гипотеза о нормальном характере распределения фонда оплаты труда рабочих (Фот) и их чиленности (f_i ) по критерию согласия А.Н. Колмогорова выполняется.

Линии эмпирического и теоретического распределения на графике (рис.5.6.) по условиям задачи подтверждают гипотезу о нормальном законе распределения уровня оплаты труда рабочих и численности, рабочих в группах на данном предприятии.

Общие выводы:

Подтверждение принятой гипотезы о характере распределении позволяет с заданной (высокой) вероятностью (Р = 0,95) сделать два важных вывода.

1) По принятым критериям согласия К. Пирсона (χ² _расч > χ² _{табл .} )_, В.И. Романовского (К_{р χ} < 3 ) и А.Н. Колмогорова (l _расч< l _табл ) исследуемое распределение действительно подчиняется выявленному нормальному закону распределения.

2) Все расчетные параметры (х_{i ср} , σ и др.) достоверны и типичны для данного вида зависимостей и закономерностей и могут быть использованы для моделирования, прогнозирования, анализа и планирования фондов оплаты труда рабочих на данном предприятии.