Модуль 1.1. Проверка гипотез относительно равенства средних, t- критерий Стьюдента
Задача сравнения средних двух генеральных совокупностей возникает, когда практическое значение имеет именно величина исследуемого признака. Например, когда сравниваются сроки лечения двумя различными методами, или количества осложнений, возникающих при их применении. В этом случае можно использовать t-критерий Стьюдента.
Постановка задачи.
Получены две выборки {Х1} и {X2},
извлеченные из генеральных совокупностей
с нормальным законом распределения
и одинаковыми дисперсиями. Объемы
выборок n1 и n2,
выборочные средние равны
,
а выборочные дисперсии –
,
соответственно. Требуется сравнить
между собой генеральные средние.
Проверяемые гипотезы:
Н0 – генеральные средние одинаковы;
Н1 – генеральные средние различны.
Показано, что в случае справедливости гипотезы Н0 величина t, вычисляемая по формуле
,
распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы = 1 + 2.
Здесь 1 = n1 - 1 – число степеней свободы для первой выборки; 2 = n2 – 1 – число степеней свободы для второй выборки.
Границы критической области находят по таблицам t-распределения или с помощью компьютерной функции СТЬЮДРАСПОБР. Для нахождения правой границы следует указать уровень значимости ( = 1 – Р) и число степеней свободы ( = n1 + n2 -2). Распределение Стьюдента симметрично относительно нуля, поэтому левая и правая границы критической области одинаковы по модулю но противоположны по знаку: -tгр и tгр.
Если значение критерия попадает в критическую область, то принимается гипотеза Н0. В противном случае принимается гипотеза Н1.
С результатами проверки связаны 2 вида возможных ошибок.
Ошибка первого рода: принимается Н1, хотя на самом деле верна Н0.
Ошибка второго рода: принимается Н0, хотя на самом деле верна Н1.
Применение t-критерия Стьюдента
Способность критерия Стьюдента обнаруживать различия между генеральными средними тем выше, чем больше объемы выборок и чем больше отношение М/. Для демонстрации этого обстоятельства сформированы нарастающие по объему выборки.
а) Сначала сформированы выборки n = 30, = 1, М1 = 6, М2 = 6,7 М/ = 0,7.
Для проверки гипотезы о равенстве средних из этих выборок последовательно брались группы нарастающего объема: n = 10; n = 20; n = 25; n = 30;
Для облегчения работы студентов подсчитаны выборочные оценки среднего и СКО (напомнить, что при вычислении выборочной дисперсии в знаменателе стоит не объем выборки n, а n-1). Студентам предлагается вычислить значение критерия t, найти границы критической области по таблицам Стьюдента (см. табл. № 7 в задачнике) и сформулировать результат проверки.
= 0.05 (P = 0.95) М/ = 0,7 |
|||||
выборки |
B1 |
B2 |
|
B1 |
B2 |
М |
6 |
6,7 |
|
6 |
6,7 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
n |
10 |
10 |
|
20 |
20 |
|
5,756 |
6,081 |
|
5,756 |
6,081 |
|
4,726 |
6,883 |
|
4,726 |
6,883 |
|
7,994 |
5,199 |
|
7,994 |
5,199 |
|
5,675 |
4,424 |
|
5,675 |
4,424 |
|
6,977 |
6,548 |
|
6,977 |
6,548 |
|
6,998 |
5,979 |
|
6,998 |
5,979 |
|
4,756 |
6,716 |
|
4,756 |
6,716 |
|
6,180 |
6,740 |
|
6,180 |
6,740 |
|
6,174 |
5,526 |
|
6,174 |
5,526 |
|
5,652 |
6,984 |
|
5,652 |
6,984 |
|
|
|
|
5,264 |
5,506 |
|
|
|
|
6,092 |
6,674 |
СКО - s |
1,020 |
0,840 |
|
5,778 |
7,336 |
Средние |
6,089 |
6,108 |
|
5,648 |
6,189 |
|
|
|
|
5,795 |
8,168 |
границы |
tлев |
tправ |
|
4,823 |
7,547 |
-2,101 |
2,101 |
|
4,890 |
6,120 |
|
t |
-0,046 |
|
4,469 |
5,060 |
|
Принята |
Но |
|
7,264 |
5,521 |
|
|
|
|
|
5,810 |
6,109 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СКО - s |
0,925 |
0,912 |
|
|
|
Средние |
5,836 |
6,265 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
границы |
tлев |
tправ |
|
|
|
-2,024 |
2,024 |
|
|
|
|
t |
-1,478 |
|
|
|
|
Принята |
Но |
|
= 0.05 (P = 0.95) М/ = 0,7 |
|||||
выборки |
B1 |
B2 |
|
B1 |
B2 |
М |
6 |
6,7 |
|
6 |
6,7 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
n |
25 |
25 |
|
30 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
5,756 |
6,081 |
|
5,756 |
6,081 |
|
4,726 |
6,883 |
|
4,726 |
6,883 |
|
7,994 |
5,199 |
|
7,994 |
5,199 |
|
5,675 |
4,424 |
|
5,675 |
4,424 |
|
6,977 |
6,548 |
|
6,977 |
6,548 |
|
6,998 |
5,979 |
|
6,998 |
5,979 |
|
4,756 |
6,716 |
|
4,756 |
6,716 |
|
6,180 |
6,740 |
|
6,180 |
6,740 |
|
6,174 |
5,526 |
|
6,174 |
5,526 |
|
5,652 |
6,984 |
|
5,652 |
6,984 |
|
5,264 |
5,506 |
|
5,264 |
5,506 |
|
6,092 |
6,674 |
|
6,092 |
6,674 |
|
5,778 |
7,336 |
|
5,778 |
7,336 |
|
5,648 |
6,189 |
|
5,648 |
6,189 |
|
5,795 |
8,168 |
|
5,795 |
8,168 |
|
4,823 |
7,547 |
|
4,823 |
7,547 |
|
4,890 |
6,120 |
|
4,890 |
6,120 |
|
4,469 |
5,060 |
|
4,469 |
5,060 |
|
7,264 |
5,521 |
|
7,264 |
5,521 |
|
5,810 |
6,109 |
|
5,810 |
6,109 |
|
6,158 |
7,297 |
|
6,158 |
7,297 |
|
4,327 |
5,283 |
|
4,327 |
5,283 |
|
5,183 |
5,035 |
|
5,183 |
5,035 |
|
5,914 |
5,829 |
|
5,914 |
5,829 |
|
5,319 |
7,137 |
|
5,319 |
7,137 |
|
|
|
|
5,764 |
7,569 |
|
|
|
|
5,669 |
6,152 |
СКО - s |
0,893 |
0,919 |
|
6,811 |
7,563 |
Средние |
5,745 |
6,236 |
|
5,160 |
7,780 |
|
|
|
|
6,334 |
8,086 |
границы |
tлев |
tправ |
|
|
|
-2,011 |
2,011 |
|
|
|
|
t |
-1,914 |
СКО - s |
0,850 |
0,990 |
|
Принята |
Но |
Средние |
5,779 |
6,435 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
границы |
tлев |
tправ |
|
|
|
-2,002 |
2,002 |
|
|
|
|
t |
-2,753 |
|
|
|
|
Принята |
Н1 |
|
В данном случае различие в генеральных средних обнаружено только при n = 30.
б) Затем значения второй выборки увеличены на 0,3 что соответствует М2 = 7 и М/ = 1
= 0.05 (P = 0.95) М/ = 1 |
|||||
выборки |
B1 |
B2 |
|
B1 |
B2 |
М |
6 |
7 |
|
6 |
7 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
n |
10 |
10 |
|
20 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
5,756 |
6,381 |
|
5,756 |
6,380613 |
|
4,726 |
7,183 |
|
4,726 |
7,182656 |
|
7,994 |
5,499 |
|
7,994 |
5,499038 |
|
5,675 |
4,724 |
|
5,675 |
4,723698 |
|
6,977 |
6,848 |
|
6,977 |
6,847601 |
|
6,998 |
6,279 |
|
6,998 |
6,279482 |
|
4,756 |
7,016 |
|
4,756 |
7,016257 |
|
6,180 |
7,040 |
|
6,180 |
7,039981 |
|
6,174 |
5,826 |
|
6,174 |
5,826379 |
|
5,652 |
7,284 |
|
5,652 |
7,283708 |
|
|
|
|
5,264 |
5,806497 |
|
|
|
|
6,092 |
6,973643 |
СКО - s |
1,020 |
0,840 |
|
5,778 |
7,635782 |
Средние |
6,089 |
6,408 |
|
5,648 |
6,488799 |
|
|
|
|
5,795 |
8,468038 |
границы |
tлев |
tправ |
|
4,823 |
7,846908 |
-2,101 |
2,101 |
|
4,890 |
6,420079 |
|
t |
-0,764 |
|
4,469 |
5,360054 |
|
Принята |
Но |
|
7,264 |
5,820724 |
|
|
|
|
|
5,810 |
6,408637 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СКО - s |
0,925 |
0,912 |
|
|
|
Средние |
5,836 |
6,565 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
границы |
tлев |
tправ |
|
|
|
-2,024 |
2,024 |
|
|
|
|
t |
-2,51 |
|
|
|
|
Принята |
Н1 |
|
= 0.05 (P = 0.95) М/ = 1 |
|||||
выборки |
B1 |
B2 |
|
B1 |
B2 |
М |
6 |
7 |
|
6 |
7 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
n |
25 |
25 |
|
30 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
5,756 |
6,380613 |
|
5,756 |
6,380613 |
|
4,726 |
7,182656 |
|
4,726 |
7,182656 |
|
7,994 |
5,499038 |
|
7,994 |
5,499038 |
|
5,675 |
4,723698 |
|
5,675 |
4,723698 |
|
6,977 |
6,847601 |
|
6,977 |
6,847601 |
|
6,998 |
6,279482 |
|
6,998 |
6,279482 |
|
4,756 |
7,016257 |
|
4,756 |
7,016257 |
|
6,180 |
7,039981 |
|
6,180 |
7,039981 |
|
6,174 |
5,826379 |
|
6,174 |
5,826379 |
|
5,652 |
7,283708 |
|
5,652 |
7,283708 |
|
5,264 |
5,806497 |
|
5,264 |
5,806497 |
|
6,092 |
6,973643 |
|
6,092 |
6,973643 |
|
5,778 |
7,635782 |
|
5,778 |
7,635782 |
|
5,648 |
6,488799 |
|
5,648 |
6,488799 |
|
5,795 |
8,468038 |
|
5,795 |
8,468038 |
|
4,823 |
7,846908 |
|
4,823 |
7,846908 |
|
4,890 |
6,420079 |
|
4,890 |
6,420079 |
|
4,469 |
5,360054 |
|
4,469 |
5,360054 |
|
7,264 |
5,820724 |
|
7,264 |
5,820724 |
|
5,810 |
6,408637 |
|
5,810 |
6,408637 |
|
6,158 |
7,596747 |
|
6,158 |
7,596747 |
|
4,327 |
5,582637 |
|
4,327 |
5,582637 |
|
5,183 |
5,334579 |
|
5,183 |
5,334579 |
|
5,914 |
6,128527 |
|
5,914 |
6,128527 |
|
5,319 |
7,437144 |
|
5,319 |
7,437144 |
|
|
|
|
5,764 |
7,869015 |
|
|
|
|
5,669 |
6,452275 |
СКО - s |
0,893 |
0,919 |
|
6,811 |
7,863117 |
Средние |
5,745 |
6,536 |
|
5,160 |
8,080234 |
|
|
|
|
6,334 |
8,385902 |
границы |
tлев |
tправ |
|
|
|
-2,011 |
2,011 |
|
|
|
|
t |
-3,084 |
СКО - s |
0,850 |
0,990 |
|
Принята |
Н1 |
Средние |
5,779 |
6,735 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
границы |
tлев |
tправ |
|
|
|
-2,002 |
2,002 |
|
|
|
|
t |
-4,012 |
|
|
|
|
Принята |
Н1 |
|
В данном случае для обнаружения различий в генеральных средних потребовались выборки меньшего объема.