- •1 Действительные числа
- •1.1 Логическая символика и терминология
- •1.2 Аксиоматика действительных чисел
- •1.3 Точные грани числовых множеств
- •1.4 Натуральные, рациональные, иррациональные числа
- •1.5 Принцип Кантора
- •1.6 Правило построения отрицания
- •2 Числовые последовательности
- •2.1 Определения
- •2.2 Предел последовательности
- •2.3 Общие свойства предела последовательности
- •2.4 Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами
- •2.5 Бесконечно малые последовательности
- •2.6 Бесконечно большие последовательности
- •2.7 Арифметические операции над сходящимися последовательностями
- •2.8 Предел монотонной последовательности
- •2.9 Число e
- •2.10 Подпоследовательности. Частичные пределы
- •2.11 Критерий Коши сходимости последовательности
- •3 Предел функции в точке
- •3.1 Определение предела по Коши
- •3.2 Определение предела по Гейне
- •3.3 Различные типы пределов
- •3.4 Свойства пределов функции в точке
- •3.5 Предел монотонной функции
- •3.6 Бесконечно малые функции
- •3.7 Замена переменной при вычислении предела (или предел композиции функций)
- •3.8 Первый замечательный предел
- •3.9 Второй замечательный предел
- •3.10 Сравнение асимптотического поведения функций
- •4 Непрерывные функции
- •4.1 Определение
- •4.2 Точки разрыва
- •4.3 Свойства функций, непрерывных в точке (локальные свойства непрерывных функций)
- •4.4 Свойства функций, непрерывных на отрезке (глобальные свойства непрерывных функций)
- •5 Производная функции в точке
- •5 .1 Определение. Физический и геометрический смысл производной
- •5.2 Дифференциал функции
- •5.3 Правила дифференцирования
- •5.4 Дифференцирование параметрически заданных
- •5.5 Производные и дифференциалы высших порядков
- •6 Основные теоремы для дифференцируемых функций
- •6.1 Точки локального экстремума
- •6.2 Теорема Ферма
- •6.3 Теорема Ролля
- •7 Формула Тейлора
- •Формулы Маклорена для некоторых элементарных функций
- •8 Правило Лопиталя
- •9 Исследование функций с помощью производной
- •9.1 Возрастание и убывание функций
- •9.2 Экстремумы функции
- •9.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •9.4 Выпуклость функции
- •9.5 Точки перегиба
- •9.6 Асимптоты
- •9.7 Схема исследования функции
5 Производная функции в точке
5 .1 Определение. Физический и геометрический смысл производной
Пусть – путь, пройденный материальной точкой за время t. Тогда средняя скорость материальной точки за промежуток есть величина, равная .
Тогда мгновенная скорость движения материальной точки в момент времени .
Обозначим – приращение аргумента х,
– приращение функции , соответ-ствующее приращению .
О. Производной функции в точке называется число (если оно существует), равное пределу отношения приращения функции в точке к приращению аргумента при условии, что и обозначается , т. е. .
Механический смысл производной. Если х – время, – путь, пройденный материальной точкой за время х, то – это скорость движения в момент времени или –мгновенная скорость изменения функции в момент времени .
Геометрический смысл производной. – это тангенс угла наклона секущей, проходящей через точки с координатами и .
При – тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке .
Если уравнение касательной, то .
Уравнение касательной: .
Примеры 1) .
, т. е. производная постоянной функции равна 0.
2) . Покажем, что . Действительно,
.
3) .
т. е. .
Теорема Если имеет производную в точке , то непрерывна в точке .
Доказательство. Из равенства следует, что
при . Отсюда при .
Значит, при .■
Замечание. Если разрывна в точке , то она не имеет производной в точке .
По аналогии с односторонними пределами вводятся понятия односторонних производных:
, – правосторонняя и левосторонняя производные функции в точке .
Пример . Найти односторонние производные.
Решение. ,
.
Так как односторонние производные не равны, то не имеет производной в точке .
5.2 Дифференциал функции
Пусть функции определена в некоторой окрестности точки .
О. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в точке представимо в виде:
,
где А – постоянная, не зависящая от (но зависящая от ), а функция при .
Слагаемое называется дифференциалом функции в точке и обозначается или . Дифференциал – это главное линейная часть приращения функции. Тогда , .
Теорема Функция дифференцируема в точке тогда, и только тогда, когда она имеет производную в точке . При этом
.
Доказательство.
Необходимость. Если дифференцируема в точке , то приращение функции в точке представимо в виде:
.
Отсюда , где при .
Следовательно, при существует и .
Достаточность. Если , то .
Следовательно, .■
Обычно обозначают и пишут .
Механический смысл дифференциала: , т.е. дифференциал равен расстоянию, которое прошла бы материальная точка за промежуток времени , если бы она двигалась со скоростью .
5.3 Правила дифференцирования
Теорема 1 Если функции и дифференцируемы в точке , то в этой точке дифференцируемы функции
(если ),
причем 1) ,
2) ,
3) , .
Доказательство. 1) Если , то
.
Тогда . При предел правой части существует, значит, существует и предел левой части. При получаем .
2) Пусть . Тогда
.
Отсюда следует, что .
Так как дифференцируема в точке , то при . Поэтому из последнего равенства при получаем
.
3) Доказательство предлагается изучить самостоятельно.■
Следствие , где .
Пример Доказать, что .
Решение.
.
Теорема 2 (производная обратной функции) Если функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке и если , то функция , обратная к функции , дифференцируема в точке , причем .
Доказательство следует из равенства .
Пример Доказать, что , при .
Решение. Здесь .
Тогда обратная функция , . По формуле,
.
Теорема 3 (дифференцирование сложной функции) Если дифференцируема в точке , дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке , причем .
Таблица производных от основных элементарных функций
1)
2) , , ,
3) ,
4) ,
5) , 6)
7) , 8)
9) , 10)
11) , 12)
13) , 14)
15) , 16)