- •1 Действительные числа
- •1.1 Логическая символика и терминология
- •1.2 Аксиоматика действительных чисел
- •1.3 Точные грани числовых множеств
- •1.4 Натуральные, рациональные, иррациональные числа
- •1.5 Принцип Кантора
- •1.6 Правило построения отрицания
- •2 Числовые последовательности
- •2.1 Определения
- •2.2 Предел последовательности
- •2.3 Общие свойства предела последовательности
- •2.4 Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами
- •2.5 Бесконечно малые последовательности
- •2.6 Бесконечно большие последовательности
- •2.7 Арифметические операции над сходящимися последовательностями
- •2.8 Предел монотонной последовательности
- •2.9 Число e
- •2.10 Подпоследовательности. Частичные пределы
- •2.11 Критерий Коши сходимости последовательности
- •3 Предел функции в точке
- •3.1 Определение предела по Коши
- •3.2 Определение предела по Гейне
- •3.3 Различные типы пределов
- •3.4 Свойства пределов функции в точке
- •3.5 Предел монотонной функции
- •3.6 Бесконечно малые функции
- •3.7 Замена переменной при вычислении предела (или предел композиции функций)
- •3.8 Первый замечательный предел
- •3.9 Второй замечательный предел
- •3.10 Сравнение асимптотического поведения функций
- •4 Непрерывные функции
- •4.1 Определение
- •4.2 Точки разрыва
- •4.3 Свойства функций, непрерывных в точке (локальные свойства непрерывных функций)
- •4.4 Свойства функций, непрерывных на отрезке (глобальные свойства непрерывных функций)
- •5 Производная функции в точке
- •5 .1 Определение. Физический и геометрический смысл производной
- •5.2 Дифференциал функции
- •5.3 Правила дифференцирования
- •5.4 Дифференцирование параметрически заданных
- •5.5 Производные и дифференциалы высших порядков
- •6 Основные теоремы для дифференцируемых функций
- •6.1 Точки локального экстремума
- •6.2 Теорема Ферма
- •6.3 Теорема Ролля
- •7 Формула Тейлора
- •Формулы Маклорена для некоторых элементарных функций
- •8 Правило Лопиталя
- •9 Исследование функций с помощью производной
- •9.1 Возрастание и убывание функций
- •9.2 Экстремумы функции
- •9.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •9.4 Выпуклость функции
- •9.5 Точки перегиба
- •9.6 Асимптоты
- •9.7 Схема исследования функции
9.5 Точки перегиба
О. Пусть непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда если при переходе через точку меняет направление выпуклости, т.е. такое, что на одном из интервалов , она выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то называется точкой перегиба функции .
Например, для – точка перегиба.
Теорема (необходимое условие точки перегиба) Если точка перегиба функции и в некоторой окрестности , непрерывная в точке , то .
Доказательство. Допустим, . Например, . Так как непрерывна в точке , то . Значит, выпукла вниз в окрестности . Но это противоречит определению точки перегиба. ■
Теорема (достаточное условие точки перегиба) Если непрерывна в точке , имеет в точке и при переходе через точку меняет знак, то – точка перегиба функции .
9.6 Асимптоты
О. Если или , то прямая называется вертикальной асимптотой графика функции .
Например, для функций прямая –вертикальная асимптота, для функции прямые являются вертикальными асимптотами.
Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или в граничных точках области определения.
О. Прямая называется асимптотой графика функции при , если .
Если , то асимптота называется наклонной.
Если , то асимптота называется горизонтальной.
Например, для функций прямая – горизонтальная асимптота, для функции прямые являются горизонтальными асимптотами.
Теорема Прямая является асимптотой графика функции при тогда, и только тогда, когда существуют и конечны оба предела: и .
9.7 Схема исследования функции
1) Найти область определения функции . Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.
2) Найти точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства (т.е. промежутки, на которых и ).
3) Найти асимптоты графика функции. Найти односторонние пределы в точках разрыва и граничных точках области определения.
4) Вычислить производную функции. Найти промежутки возрастания и убывания, экстремумы функции.
5) Вычислить вторую производную функции. Найти промежутки выпуклости вверх и вниз, точки перегиба.
6) Изобразить график функции.