- •1 Действительные числа
- •1.1 Логическая символика и терминология
- •1.2 Аксиоматика действительных чисел
- •1.3 Точные грани числовых множеств
- •1.4 Натуральные, рациональные, иррациональные числа
- •1.5 Принцип Кантора
- •1.6 Правило построения отрицания
- •2 Числовые последовательности
- •2.1 Определения
- •2.2 Предел последовательности
- •2.3 Общие свойства предела последовательности
- •2.4 Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами
- •2.5 Бесконечно малые последовательности
- •2.6 Бесконечно большие последовательности
- •2.7 Арифметические операции над сходящимися последовательностями
- •2.8 Предел монотонной последовательности
- •2.9 Число e
- •2.10 Подпоследовательности. Частичные пределы
- •2.11 Критерий Коши сходимости последовательности
- •3 Предел функции в точке
- •3.1 Определение предела по Коши
- •3.2 Определение предела по Гейне
- •3.3 Различные типы пределов
- •3.4 Свойства пределов функции в точке
- •3.5 Предел монотонной функции
- •3.6 Бесконечно малые функции
- •3.7 Замена переменной при вычислении предела (или предел композиции функций)
- •3.8 Первый замечательный предел
- •3.9 Второй замечательный предел
- •3.10 Сравнение асимптотического поведения функций
- •4 Непрерывные функции
- •4.1 Определение
- •4.2 Точки разрыва
- •4.3 Свойства функций, непрерывных в точке (локальные свойства непрерывных функций)
- •4.4 Свойства функций, непрерывных на отрезке (глобальные свойства непрерывных функций)
- •5 Производная функции в точке
- •5 .1 Определение. Физический и геометрический смысл производной
- •5.2 Дифференциал функции
- •5.3 Правила дифференцирования
- •5.4 Дифференцирование параметрически заданных
- •5.5 Производные и дифференциалы высших порядков
- •6 Основные теоремы для дифференцируемых функций
- •6.1 Точки локального экстремума
- •6.2 Теорема Ферма
- •6.3 Теорема Ролля
- •7 Формула Тейлора
- •Формулы Маклорена для некоторых элементарных функций
- •8 Правило Лопиталя
- •9 Исследование функций с помощью производной
- •9.1 Возрастание и убывание функций
- •9.2 Экстремумы функции
- •9.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •9.4 Выпуклость функции
- •9.5 Точки перегиба
- •9.6 Асимптоты
- •9.7 Схема исследования функции
2.6 Бесконечно большие последовательности
О. Последовательность называется бесконечно большой, если
.
Пишут .
Пусть , ,
.
Тогда .
.
.
Утверждение 1) любая бесконечно большая последователь-ность является неограниченной (но не любая неограниченная последовательность является б.б. Например, );
2) последовательность является бесконечно большой тогда, и только тогда, когда последовательность является бесконечно малой.
2.7 Арифметические операции над сходящимися последовательностями
Утверждение .
Доказательство. Оба утверждения равносильны тому, что
.■
Теорема Если , , то
1) ;
2) ;
3) если и , то .
Доказательство.
Так как , то
.
Так как , то .
Тогда
.
2) Надо доказать, что .
Рассмотрим
.
Так как сходится, то она ограничена, т. е.
: .
Если и , то
.
Так как , то .
Тогда .
Если (т.е. бесконечно малая), сходится (следовательно, является ограниченной), то тоже бесконечно малая, и в этом случае утверждение тоже верно.
3) без доказательства. ■
2.8 Предел монотонной последовательности
Теорема 1 Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она сходится.
Доказательство. Пусть . Так как ограничена сверху, то множество ограничено сверху. Тогда . Обозначим . Докажем, что – предел .
Рассмотрим число . Так как является , то . Т.к. последовательность возрастает, то . Значит, .■
Теорема 2 Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится.
Пример Доказать, что существует и равен 0 при .
Решение. Пусть . Рассмотрим , начиная с некоторого номера. Значит, начиная с некоторого номера, убывает. Так как , то ограничена снизу. По теореме 2, сходится. Обозначим . Заметим, что . Переходя к пределу в обеих частях последнего равенства при , получим . Отсюда .
Некоторые пределы , при
,
,
,
2.9 Число e
Рассмотрим последовательность . Покажем, что она возрастает и ограничена сверху.
Воспользуемся формулой
, где .
Тогда при получим
.
Отсюда .
Каждое слагаемое в меньше соответствующего слагаемого в , да и слагаемых в больше. Значит, . т.е. возрастает.
Заметим, что .
Значит, ограничена сверху.
По теореме о сходимости монотонной последовательности, имеет предел. Этот предел обозначается буквой e, т.е.
.
2.10 Подпоследовательности. Частичные пределы
Пусть задана последовательность .
О. Рассмотрим строго возрастающую последовательность натуральных чисел . Тогда последовательность называют подпоследовательностью последовательности .
О. Если существует предел подпоследовательности , то он называется частичным пределом.
О. Если обозначить – множество всех частичных пределов, то называется верхним пределом и обозначается , называется нижним пределом и обозначается .
Если не ограничена сверху, то . Если не ограничена снизу, то .
Утверждение 1 Если последовательность имеет предел, то любая её подпоследовательность сходится к тому же пределу. (Доказать)
Теорема (Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследо ва-тельность.
Доказательство. Так как ограничена, то существует отрезок , такой, что .
Разобьём пополам точкой d. Один из отрезков содержит бесконечно много членов последовательности (доказывается от противного). Возьмём его и тоже разобьём пополам. Один из полученных отрезков содержит бесконечно много членов последовательности. И т. д. Получим последовательность вложенных отрезков, длину которых можно сделать меньше любого .
По теореме Кантора, существует единственная точка .
Покажем, что существует подпоследовательность , которая сходится к числу с.
Возьмём . Найдём номер (он существует, так как содержит бесконечно много членов). И так далее.
Так как длина стремится к нулю, а и , то . Значит, сходится к с.■
Утверждение 2 Любая неограниченная последовательность имеет подпоследовательность, сходящуюся к . (Доказать)
Утверждение 3 Число а является частичным пределом тогда, и только тогда, когда в любой окрестности точки а содержится бесконечно много членов последовательности. (Доказать)