
- •1 Действительные числа
- •1.1 Логическая символика и терминология
- •1.2 Аксиоматика действительных чисел
- •1.3 Точные грани числовых множеств
- •1.4 Натуральные, рациональные, иррациональные числа
- •1.5 Принцип Кантора
- •1.6 Правило построения отрицания
- •2 Числовые последовательности
- •2.1 Определения
- •2.2 Предел последовательности
- •2.3 Общие свойства предела последовательности
- •2.4 Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами
- •2.5 Бесконечно малые последовательности
- •2.6 Бесконечно большие последовательности
- •2.7 Арифметические операции над сходящимися последовательностями
- •2.8 Предел монотонной последовательности
- •2.9 Число e
- •2.10 Подпоследовательности. Частичные пределы
- •2.11 Критерий Коши сходимости последовательности
- •3 Предел функции в точке
- •3.1 Определение предела по Коши
- •3.2 Определение предела по Гейне
- •3.3 Различные типы пределов
- •3.4 Свойства пределов функции в точке
- •3.5 Предел монотонной функции
- •3.6 Бесконечно малые функции
- •3.7 Замена переменной при вычислении предела (или предел композиции функций)
- •3.8 Первый замечательный предел
- •3.9 Второй замечательный предел
- •3.10 Сравнение асимптотического поведения функций
- •4 Непрерывные функции
- •4.1 Определение
- •4.2 Точки разрыва
- •4.3 Свойства функций, непрерывных в точке (локальные свойства непрерывных функций)
- •4.4 Свойства функций, непрерывных на отрезке (глобальные свойства непрерывных функций)
- •5 Производная функции в точке
- •5 .1 Определение. Физический и геометрический смысл производной
- •5.2 Дифференциал функции
- •5.3 Правила дифференцирования
- •5.4 Дифференцирование параметрически заданных
- •5.5 Производные и дифференциалы высших порядков
- •6 Основные теоремы для дифференцируемых функций
- •6.1 Точки локального экстремума
- •6.2 Теорема Ферма
- •6.3 Теорема Ролля
- •7 Формула Тейлора
- •Формулы Маклорена для некоторых элементарных функций
- •8 Правило Лопиталя
- •9 Исследование функций с помощью производной
- •9.1 Возрастание и убывание функций
- •9.2 Экстремумы функции
- •9.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •9.4 Выпуклость функции
- •9.5 Точки перегиба
- •9.6 Асимптоты
- •9.7 Схема исследования функции
4 Непрерывные функции
4.1 Определение
О.
Функция
называется непрерывной
в точке а,
если она определена в некоторой
окрестности этой точки и
.
То есть
непрерывна в точке а,
если: 1)
определена в некоторой
;
2)
;
3)
.
На языке
это определение можно записать в виде:
или
.
О.
Функция
называется непрерывной
слева в точке а,
если она определена на
и
.
О.
Функция
называется непрерывной
справа в точке а,
если она определена на
и
.
Примеры
1)
непрерывна
.
Действительно,
,
если взять
.
То есть
.
Следовательно,
.
2)
непрерывна
и непрерывна справа в точке
.
Действительно,
при
,
если
.
При
,
если
.
Итак,
.
4.2 Точки разрыва
О. Точка а называется точкой разрыва функции , если в этой точке функция не является непрерывной.
Т.е. а
− точка разрыва функции
,
если выполняется одно из условий: 1)
не определена в точке а;
2) не существует
;
3)
.
О. Пусть точка а − точка разрыва функции . Если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, но они не равны, то точка а называется точкой разрыва I рода функции .
О.
Если
,
то точка а
называется устранимой
точкой разрыва
функции
.
О. Если в точке а хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка а – точка разрыва II рода функции .
Примеры
1)
точка разрыва I
рода;
2)
– устранимая
точка разрыва, т.к.
,
по теореме о произведении б.м. функции
на ограниченную;
3)
– точка разрыва II
рода, т.к.
;
4)
– точка разрыва II
рода, т.к.
не существует.
4.3 Свойства функций, непрерывных в точке (локальные свойства непрерывных функций)
Если
непрерывна в точке а,
то она ограничена в некоторой окрестности
точки а,
т. е.
и
.
Если
непрерывна в точке а,
причем
,
то существует такая окрестность точки
а,
в которой знак функции
совпадает со знаком числа
.
Если
и
непрерывны в точке а,
то функции
,
,
(при условии, что
)
непрерывны в точке а.
Теорема
(непрерывность
сложной функции)
Если функция
непрерывна в точке
,
функция
непрерывна в точке
,
то в некоторой окрестности точки
определена сложная функция
,
которая непрерывна в точке
.
Доказательство.
Возьмем
.
Так как f
непрерывна
в точке
,
то
.
Так как
непрерывна в точке
,
то для найденной окрестности
.
Значит, существует
окрестность
,
на которой определена сложная функция
и
,
где
.
Итак,
.■
4.4 Свойства функций, непрерывных на отрезке (глобальные свойства непрерывных функций)
О.
Функцию
называют непрерывной
на отрезке
,
если она непрерывна в каждой точке
интервала
,
и, кроме того, непрерывна справа в точке
а
и непрерывна слева в точке b.
1. Ограниченность непрерывной на отрезке функции.
Теорема 1
(Вейерштрасса)
Если функция
непрерывна на отрезке
,
то она ограничена на нём, т. е.
.
Доказательство. Допустим противное, т. е.
.
(1)
Полагая в (1)
,
получим, что
.
(2)
Последовательность
ограничена, т. к.
.
По теореме
Больцано-Вейерштрасса, из нее можно
выделить сходящуюся подпоследовательность,
т. е.
и
,
такие, что
.
Так как
непрерывна на отрезке
,
то
– конечная величина. С другой стороны,
из (2) следует, что
,
откуда следует, что
.
Противоречие. ■
Замечание.
Теорема неверна на промежутках, не
являющихся отрезками. Например,
непрерывна
на
,
но не ограничена на нём; функция
непрерывна
на R,
но не ограничена на R.
2. Достижение точных граней.
Теорема 2 (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает своих точной верхней и точной нижней граней, т.е.
и
3. Промежуточные значения непрерывной функции.
Теорема
(Коши
о нулях непрерывной функции)
Если функция
непрерывна на отрезке
и принимает в его концах значения разных
знаков, то существует точка
такая, что
.
Замечание. Теорема Коши о нулях непрерывной функции утверждает, что график непрерывной функции, принимающеё на концах отрезка значения разных знаков, пересекает ось Ox хотя бы в одной точке отрезка .
Теорема
(Коши о
промежуточных значениях)
Если функция
непрерывна на отрезке
и
,
то для
найдется такая точка
,
что
.
Доказательство.
Если
или
,
то утверждение теоремы очевидно.
Рассмотрим случай
.
Введем функцию
.
Тогда
,
.
По теореме Коши о нулях непрерывной
функции, найдется такая точка
,
что
.
Значит,
.■
Следствие
Если функция
непрерывна на отрезке
,
,
,
то множество значений, принимаю-щих
функцией на отрезке
,
есть отрезок
.
4. Существование и непрерывность функции, обратной к непрерывной.
Теорема Если
функция
непрерывна и строго возрастает на
отрезке
,
то на отрезке
определена функция
,
обратная к
,
непрерывная и строго возрастающая.
Доказательство. Докажем существование обратной функции.
Обозначим
.
Так как
возрастает, то
,
где
,
.
Значит, по следствию из теоремы Коши о
промежуточных значениях, множество
значений
.
Согласно определению
обратной функции, нужно доказать, что
для
уравнение
имеет единственный корень
.
Существование корня следует из теоремы
о промежуточных значениях. Докажем, что
этот корень – единственный. Допустим,
.
Так как функция
строго возрастает, то
.
Противоречие.
Значит, на отрезке
определена обратная функция
.■
Примеры
1) Так как функция
непрерывна и возрастает на
,
то на
определена обратная функция
,
которая непрерывна на
и строго возрастает.
2) функция
строго возрастает и непрерывна на
.
Значит, на R
определена, возрастает и непрерывна
обратная функция
.