2.6 Бесконечно большие последовательности

О. Последовательность называется бесконечно большой, если

.

Пишут .

Пусть , ,

.

Тогда .

.

.

Утверждение 1) любая бесконечно большая последователь-ность является неограниченной (но не любая неограниченная последовательность является б.б. Например, );

2) последовательность является бесконечно большой тогда, и только тогда, когда последовательность является бесконечно малой.

2.7 Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Утверждение .

Доказательство. Оба утверждения равносильны тому, что

.■

Теорема Если , , то

1) ;

2) ;

3) если и , то .

Доказательство.

1. Так как , то

.

Так как , то .

Тогда

.

2) Надо доказать, что .

Рассмотрим

.

Так как сходится, то она ограничена, т. е.

: .

Если и , то

.

Так как , то .

Тогда .

Если (т.е. бесконечно малая), сходится (следовательно, является ограниченной), то тоже бесконечно малая, и в этом случае утверждение тоже верно.

3) без доказательства. ■

2.8 Предел монотонной последовательности

Теорема 1 Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она сходится.

Доказательство. Пусть . Так как ограничена сверху, то множество ограничено сверху. Тогда . Обозначим . Докажем, что – предел .

Рассмотрим число . Так как является , то . Т.к. последовательность возрастает, то . Значит, .■

Теорема 2 Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится.

Пример Доказать, что существует и равен 0 при .

Решение. Пусть . Рассмотрим , начиная с некоторого номера. Значит, начиная с некоторого номера, убывает. Так как , то ограничена снизу. По теореме 2, сходится. Обозначим . Заметим, что . Переходя к пределу в обеих частях последнего равенства при , получим . Отсюда .

Некоторые пределы , при

,

,

,

2.9 Число e

Рассмотрим последовательность . Покажем, что она возрастает и ограничена сверху.

Воспользуемся формулой

, где .

Тогда при получим

.

Отсюда .

Каждое слагаемое в меньше соответствующего слагаемого в , да и слагаемых в больше. Значит, . т.е. возрастает.

Заметим, что .

Значит, ограничена сверху.

По теореме о сходимости монотонной последовательности, имеет предел. Этот предел обозначается буквой e, т.е.

.

2.10 Подпоследовательности. Частичные пределы

Пусть задана последовательность .

О. Рассмотрим строго возрастающую последовательность натуральных чисел . Тогда последовательность называют подпоследовательностью последовательности .

О. Если существует предел подпоследовательности , то он называется частичным пределом.

О. Если обозначить – множество всех частичных пределов, то называется верхним пределом и обозначается , называется нижним пределом и обозначается .

Если не ограничена сверху, то . Если не ограничена снизу, то .

Утверждение 1 Если последовательность имеет предел, то любая её подпоследовательность сходится к тому же пределу. (Доказать)

Теорема (Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследо ва-тельность.

Доказательство. Так как ограничена, то существует отрезок , такой, что .

Разобьём пополам точкой d. Один из отрезков содержит бесконечно много членов последовательности (доказывается от противного). Возьмём его и тоже разобьём пополам. Один из полученных отрезков содержит бесконечно много членов последовательности. И т. д. Получим последовательность вложенных отрезков, длину которых можно сделать меньше любого .

По теореме Кантора, существует единственная точка .

Покажем, что существует подпоследовательность , которая сходится к числу с.

Возьмём . Найдём номер (он существует, так как содержит бесконечно много членов). И так далее.

Так как длина стремится к нулю, а и , то . Значит, сходится к с.■

Утверждение 2 Любая неограниченная последовательность имеет подпоследовательность, сходящуюся к . (Доказать)

Утверждение 3 Число а является частичным пределом тогда, и только тогда, когда в любой окрестности точки а содержится бесконечно много членов последовательности. (Доказать)