9.5 Точки перегиба

О. Пусть непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда если при переходе через точку меняет направление выпуклости, т.е. такое, что на одном из интервалов , она выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то называется точкой перегиба функции .

Например, для – точка перегиба.

Теорема (необходимое условие точки перегиба) Если точка перегиба функции и в некоторой окрестности , непрерывная в точке , то .

Доказательство. Допустим, . Например, . Так как непрерывна в точке , то . Значит, выпукла вниз в окрестности . Но это противоречит определению точки перегиба. ■

Теорема (достаточное условие точки перегиба) Если непрерывна в точке , имеет в точке и при переходе через точку меняет знак, то – точка перегиба функции .

9.6 Асимптоты

О. Если или , то прямая называется вертикальной асимптотой графика функции .

Например, для функций прямая –вертикальная асимптота, для функции прямые являются вертикальными асимптотами.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или в граничных точках области определения.

О. Прямая называется асимптотой графика функции при , если .

Если , то асимптота называется наклонной.

Если , то асимптота называется горизонтальной.

Например, для функций прямая – горизонтальная асимптота, для функции прямые являются горизонтальными асимптотами.

Теорема Прямая является асимптотой графика функции при тогда, и только тогда, когда существуют и конечны оба предела: и .

9.7 Схема исследования функции

1) Найти область определения функции . Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.

2) Найти точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства (т.е. промежутки, на которых и ).

3) Найти асимптоты графика функции. Найти односторонние пределы в точках разрыва и граничных точках области определения.

4) Вычислить производную функции. Найти промежутки возрастания и убывания, экстремумы функции.

5) Вычислить вторую производную функции. Найти промежутки выпуклости вверх и вниз, точки перегиба.

6) Изобразить график функции.